湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（原卷版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，若，则实数（

）A．0 B．1 C．0或1 D．22．“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可由函数的图象（

）个单位得到A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移4．已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（

）A． B． C． D．5．已知向量，若，则（

）A． B．C． D．6．设一个圆锥的侧面积与体积分别为，将它的高扩大到原来的2倍，底面圆的半径缩小到原来的倍，得到的圆锥的侧面积与体积分别为，则（

）A．， B．，C．， D．，7．从正方体的十二条棱中任选两条，则这两条棱所在直线互为异面直线的概率是（

）A． B． C． D．8．如图，为了测量两座山顶，之间的距离，飞机沿水平方向在相距2千米的，两点进行测量，在点测得，，在点测得，已知，，，在同一个铅垂面内，则两山顶，之间的距离是（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（

）A． B．在方向上的投影向量为C．与的夹角为30° D．10．设正数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为1B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为11．已知正三棱柱的高为，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（

）A．B．平面平面C．截面的面积为D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，，假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为_______．13．已知，则______．14．如图，在平面四边形中，，，，，，分别为，的中点．将沿折起，使二面角的大小为，则的余弦值为______；直线与平面所成角的正弦值为______．

解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.16．如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设.(1)当在边上运动，若时会使，求的值.(2)若在线段上运动时，求证：.(3)求的最大值.17．2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数；(2)试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数；(3)若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率．18．如图，在四面体中，，，E为的中点，F为上一点．(1)求证：平面平面；(2)若M，N分别是，的中点，求证：平面；(3)若，，．①求二面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值的最大值．19．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体