湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BDCBDDBBABDABC题号11答案ABD1．B【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“､为互斥事件”是“､为对立事件”的必要非充分条件.2．D【分析】根据集合的子集直接求解即可.【详解】由题知，的所有非空子集为，所以以上集合所有元素之和为.3．C【详解】根据二项式定理，展开式中的通项公式为：，要求展开式中的常数项，则的指数为0，即，解得，代入通项公式的系数部分，求得常数项：，C正确.4．B【分析】根据向量基本定理可得，再由基本不等式“1”的妙用求最小值即可．【详解】三点共线，且M是线段上的一个动点，满足，，则，当且仅当时取等，故的最小值为．5．D【详解】由可得，令，解得和，若，则，函数在上单调递增，无极值点；若，则和均为负数，极值点不可能为2，不符合题意；当时，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故为函数的极大值点，故，则.6．D【分析】根据等比数列求和公式，求得前三项的和，结合基本不等式可以求得取值范围.【详解】因为等比数列中，所以，所以当时，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立；所以前3项的和的取值范围是.故选：D7．B【分析】求出把5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数，再求出每一行的3个数字之积都能被3整除的事件含有的基本事件数即可求出概率.【详解】依题意，5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数为，中间行必有一格填奇数3，9之一，另一个填入不含6的那一行，有种方法，再排奇数1，5，7，有种方法，因此每一行的3个数字之积都能被3整除的事件含有的基本事件数为，所以每一行的3个数字之积都能被3整除的概率.故选：B8．B【分析】通过不等式分离变量，再利用等式得出代入不等式进行化简，构造函数，再利用函数导数得出函数的最大值，从而得出结果；【详解】由题意知m，n，k均为正实数，恒成立，恒成立，因为，所以令，则令，则（舍）或，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减；所以函数有最大值，最大值为，因此的最小值为.故选：B.【点睛】方法点睛：最值求解方法：1.从函数的最值出发，构造函数，求函数的最值．2.利用函数单调性，求得最值3.利用基本不等式求最值4.利用三角函数有界性求最值9．ABD【分析】根据分层随机抽样的特征和适用的情况对四个选项一一判断，得到答案.【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法；选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样；选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样；选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法.故选：ABD10．ABC【分析】根据直方图及百分位数、平均数、中位数的求法依次判断各项的正误即可.【详解】A：由直方图知对应矩形最高，即频率最大，故成绩在分的考生人数最多，对；B：由，故成绩的第80百分位数在区间，设为，则，可得分，对；C：由图知，平均分为，对；D：由，所以中位数位于区间，设为，则，可得分，错.故选：ABC11．ABD【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D.【详解】设，因为，所以，因为，所以，解得，A正确．因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确．的最小值为，C错误．因为，当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确．故选：ABD12．10【分析】由等比数列的性质可得，然后等式的用替换再结合完全平方公式可得结果.【详解】因为为等比数列，则，所以，又为正项等比数列，即，所以.故答案为：10.13．【分析】将问题转化为有两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组即可得解.【详解】由题知，的定义域为，，因为函数存在两个不同的极值点，所以有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根，所以，解得，即的取值范围为.故答案为：14．【分析】由题意可得方程在无解，即函数在无零点，当时直接判断，当时求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，当时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需，从而求出的取值范围，再结合求出的范围.【详解】由题意可得方程在无解，将方程变形得，即函数在无零点，易得的定义域为，仅在讨论零点时舍去的情况；若时，则，当时，当时，故在无零点，因此符合题意；当时，则，设，则，当时，则在单调递增，即在单调递增，由于时，时，由零点存在性定理可知在必有、且只有一个零点，设为，则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，其中，故只需令，当时符合题意，因此，即，解得，则，设，，则，所以在上单调递增，又，，所以，则；当时，，，故在区间必有零点，与所求不符.综上，的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．15．(1)企业员工对AI工具的使用情况与性别有关(2)【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论；（2）应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望.【详解】（1）零假设为：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关.根据列联表数据计算得：.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过.故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关.（2）由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名.则X可能的取值集合为，因此，，，，所以.16．（I）或；（II）．【分析】（I）利用余弦定理可构造方程求得的值，根据同角三角函数平方关系可求得；将所求式子切化弦，结合正弦定理角化边，代入和的值即可；（II）根据向量数量积定义可求得，利用余弦定理可配凑出关于的方程，解方程即可求得结果.【详解】（I）成等比数列，，，或，，；，由正弦定理知：，或.（II），，即，由余弦定理得：，解得：.17．(1)因为底面，平面所以，因为四边形是矩形，所以，又因为、平面，，所以平面，又平面，所以，又因为，是的中点，所以平面，所以平面，又平面，所以，由已知得，且平面，所以平面.(2)【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明以平面，进而得出线线垂直再次应用线面垂直判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量，再应用夹角的余弦公式计算，最后应用同角三角函数关系求出正弦即可.【详解】（1）略（2）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，由（1）知平面，所以为平面的一个法向量，又，，设为平面的一个法向量，则由得取，则，设二面角的大小为，则所以二面角的正弦值为.18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据数列前项和为与数列通项公式的关系，求出数列的通项公式；（2）根据对数的运算公式，求出数列的通项公式，根据错位相消法求出数列的前项和；（3）根据数列的函数性质，和等差数列的函数性质，说明不存在三个不同的项构成等差数列.【详解】（1）由题意得，当时，，作差得，化简得，可知数列为等比数列，当时，，解得，所以.（2）可知，则，则，作差得，化简得.（3）已知，可知在函数上，设等差数列，是一个首项为，公差为的等差数列，则在函数上，可知是指数函数，是一次函数，易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，又在上，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.19．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）代入然后求导，对，讨论判断；（2）（i）法一：等价转化方程有两个不同的变号根等价有两个不同的根，然后构建函数研究性质即可；法二：直接求导，然后利用二阶导，求出最小值判断即可；（ii）构建函数，然后求导可判断，然后构建函数，可知，最后可得结果.【详解】（1）由，得，，当时，，，在上单调递增，所以，不等式恒成立；

当时，，当时，，所以在上单调递减，，与已知不等式矛盾.故；（2）（i）法一：由（），求导得，由题意得方程有两个不同的变号根，即：有两个不同的根，设，则，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，又时，；时，，所以.

法二：由，求导可得，令，由题意得函数存在两个不同的变号零点，则，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，当，即时，不合题意；当时，由，令，求导可得，当时，，则在上单调递增，所以，则，由，则当时，函数存在两个不同的变号