初高中数学暑假衔接材料：高一暑假收心卷02（暑假测试）（原卷版及解析）

2/14暑假收心卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）训练范围：人教B版必修第一册。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列关系正确的是（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．已知x、y都是正数，若，则的最大值为（

）A． B． C．12 D．4．下列函数中是奇函数且是增函数的是（

）A． B． C． D．5．已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知为实数，集合，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．37．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，，x，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（

）A．1 B． C． D．258．定义在上的函数满足：对任意，恒成立．则下列说法正确的是（

）A．函数一定是常值函数B．函数的函数值一定非负C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点D．若函数存在零点，则一定存在，使得二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数中，满足的是（

）A． B． C． D．10．已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（

）A． B． C．若，则 D．若，则11．已知实数满足，则（）A． B．C． D．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设，是方程的两个根，则的值为______．13．已知和为平面坐标系中的两点，若反比例函数图象与线段AB有交点，则k的取值范围为______．14．已知集合M，将集合M的所有元素的乘积称为M的容量（若M中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0），若，则集合M所有子集的容量之和为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知全集，集合，集合，其中．(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围．16．（15分）已知定义在上的函数，且，(1)求的值；(2)利用定义证明函数在区间上单调递减；(3)求函数在区间的最大值和最小值.17．（15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元.(1)求出该公司本季度增加的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式.(2)若要追加的总成本不超过3万元，求x的取值范围.(3)当x为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？18．（17分）已知集合中至少有2个元素，且，若存在整数k，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质.(1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明）(2)若集合具有性质，求a的值；(3)求证：不存在具有性质集合.19．（17分）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，．(1)求的值；(2)设函数．①求函数的对称中心；②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围．

暑假收心卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）训练范围：人教B版必修第一册。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不是整数；0属于自然数；−3是有理数；是实数，综上只有C正确.2．已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】首先求解不等式：将不等式变形为，因式分解得，解得.充分性验证：若则成立，即成立.必要性验证：若则，但不一定成立.所以“”是“”的充分非必要条件.3．已知x、y都是正数，若，则的最大值为（

）A． B． C．12 D．【答案】C【解析】因x、y都是正数，，则由，可得.当且仅当，即，时取等号.所以的最大值为12.4．下列函数中是奇函数且是增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是奇函数，但不是增函数，故A错误；是奇函数，且在上是增函数，故B正确；是偶函数，故C错误；定义域为，是非奇非偶函数，故D错误.5．已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：，又在上是增函数，所以，即.6．已知为实数，集合，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因为，所以或，解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去）所以.7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，，x，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（

）A．1 B． C． D．25【答案】C【解析】因为，所以.，当且仅当，即（在范围内）时，等号成立.8．定义在上的函数满足：对任意，恒成立．则下列说法正确的是（

）A．函数一定是常值函数B．函数的函数值一定非负C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点D．若函数存在零点，则一定存在，使得【答案】C【解析】对于，1）若，等式成立；2）若，若，等式成立．若，，则必有，可知可以是常值函数或非负函数若，或，等式不成立．由以上讨论可知可以是常值函数或非负函数．A选项，任取一个非负非常值函数满足，但不是常值函数．B选项，任取一个负常值函数满足，但不是非负函数．C选项，若函数是R上的严格增函数且存在零点，设，由于严格递增，取，，有，，此时，与题设矛盾，故不存在零点．D选项，存在反例，满足条件．，，有．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数中，满足的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对于A：，则，故A正确；对于B：，则，故B错误；对于C：，则，而，所以，故C错误；对于D：，则，故D正确.故选：AD10．已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（

）A． B． C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误；若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确；若，则，即，C正确；根据题目可知若，则，，代入条件①，则有，，代入条件②，则有，，可知.故若，则，由条件无法确定，D错误.11．已知实数满足，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】已知，由基本不等式，当时，，解得，当且仅当时取等号，当时，，解得，当且仅当时等号成立，，故A正确；因为关于x的方程有解，所以因此，故B错误；由，即由上可得，所以，，所以，故C正确；因为，由选项A知，由，得，故D正确．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设，是方程的两个根，则的值为______．【答案】−1【解析】，是方程的两个根，∴由根与系数的关系得，，代入得：．13．已知和为平面坐标系中的两点，若反比例函数图象与线段AB有交点，则k的取值范围为______．【答案】【解析】设直线AB的方程为，则，解得，直线AB的方程为y=−x+4，线段AB的方程为，由，得当时，，所以k的取值范围为.14．已知集合M，将集合M的所有元素的乘积称为M的容量（若M中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0），若，则集合M所有子集的容量之和为__________.【答案】【解析】设，将其括号打开得，发现上述式子的除以外的每一个系数，刚好是集合M所有非空子集的容量，故令，则，而的系数是1，故集合M所有子集的容量之和为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知全集，集合，集合，其中．(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围．【解析】（1）当时，代入集合B得,由，因此，求补集得.（2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论：当B为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求；当B不为空集，需同时满足，解不等式组可得，综上可得，a的取值范围是.16．（15分）已知定义在上的函数，且，(1)求的值；(2)利用定义证明函数在区间上单调递减；(3)求函数在区间的最大值和最小值.【解析】（1）函数，且，则，解得，，所以.（2）由（1）知，，且，则，由，得，，则，即，所以函数在区间上单调递减.（3）由（2）得函数在区间上单调递减，则，，所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11.17．（15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元.(1)求出该公司本季度增加的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式.(2)若要追加的总成本不超过3万元，求x的取值范围.(3)当x为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？【解析】（1）由题意，列出函数关系式可得，，又因为，所以；（2）由题意可知，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以x的取值范围为；（3），当时，，当且仅当时取等号，即时取等号，即，，所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大值为万元.18．（17分）已知集合中至少有2个元素，且，若存在整数k，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质.(1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明）(2)若集合具有性质，求a的值；(3)求证：不存在具有性质集合.【解析】（1）集合具有性质，不具有性质.对，仅存在正整数和为2，此时对应，满足，故具有；对，当正整数和为2时仅对应，满足，故不具有性质.（2）因为集合具有性质，所以，且，所以，所以或，所以.当时，满足以上条件的正整数只有：或

，且都满足：.（3）证明：假设存在具有性质集合.

因为集合，所以设集合中最小的元素为，若，则由于，且，由可知，但是中最小的元素且，而，所以集合不具有性质，矛盾.所以.设集合中除以外的最小元素为n，则.因为，且，，且，集合中比n小的元素只有，所以，解得，即集合中除以外的最小元素为，因为，集合具有性质，所以，这与集合中除以外的最小元素为相矛盾，综上，不存在具有性质集合.19．（17分）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，．(1)求的值；(2)设函数．①求函数的对称中心；②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围．【解析】（1）函数的图象关于点对称，所以，令x=0，得；（2）①，，即满足，所以函数的图象关于点对称；②命题“，使得成立”是真命题，又在上单调递增，所以时，的