初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第2讲 集合之间的关系（原卷版及解析）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第2讲集合之间的关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航子集真子集空集1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点)2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点)3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点)学习重点：了解集合子集的含义，理解集合之间的关系，并能利用性质解决简单的问题。学习难点：通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论。1.子集：定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示结论（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；（2）对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C2.相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3.真子集定义集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作A⊂B(或B⊃A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示4.空集定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性（1）空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；（2）A≠∅，则∅⊂A知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01子集定义对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）；对任何集合，规定；我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如右上图是的维恩图．集合间关系的有关性质（1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论：①；②若且，则；③传递性：若且，则．（2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且，则＂类似．【经典例题】【例1】下列各式中，正确的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【技巧归纳】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.【例2】（2025·杨浦·高一上期末）已知集合，且，则_____．【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可．【例3】已知集合________．【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列出元素就可以看出两个集合的关系即可．【对点练习】【练习1】若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有___个．【练习2】若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【练习3】已知集合A=x∣x2−2x−3=0【练习4】已知集合A=−1，0，1【练习5】下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【练习6】满足条件{a，b}⊆M⊂{a，bA．6个 B．7个 C．8个 D．9个知识点02真子集定义对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂真包含于＂（或＂真包含＂）．【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】对于常用的数集，我们有如下的包含关系：性质：（1）任何集合都不是它本身的真子集．（2）若，且，则．（3）若，且，则．（1）若和同时成立，则更能准确表达集合、之间的关系．（2）真子集是子集的一种特殊情况.（3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素．【经典例题】【例4】满足的集合的个数为____________.【易错提醒】根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案.【例5】若集合A＝{(m，n)|nm+1＝1，m，n∈R}，B＝{(m，n)|n＝1＋m，m，n∈R}则A与B的关系是______________.【易错提醒】本题考查了集合的包含关系，解决此题的关键是确定集合中的元素.【对点练习】【练习8】已知，则A与B之间的包含关系为.【练习9】已知集合，集合，若B⊆A，实数的取值范围是 ，若，实数的取值范围是 .【易错提醒】本题考查集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地找到参数的不等关系．知识点03集合相等定义已知两个集合与，若，且，则称这两个集合相等，记作．如图是集合的维恩图．两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题.【经典例题】【例6】已知集合和，那么（

）A． B． C． D．【易错提醒】＂＂是元素与集合之间的关系，如，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成;根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解.【例7】（2023•闵行区校级期中）是有理数集，集合，在下列集合中：①；②，；③，，；④，，．与集合相等的集合序号是．【易错提醒】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合一致即可．【例8】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为．【易错提醒】根据元素的互异性，确定，的范围，根据集合相等列方程求，即可．【例9】（2024•浦东新区校级月考）下列关系式错误的个数为：①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【易错提醒】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可.【对点练习】【练习10】（2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个.【练习11】设是有理数，集合，，，，在下列集合中；（1），；（2），；（3），；（4），；与相同的集合有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【练习12】（2024•浦东新区校级期中）已知集合，0，，，0，，且，则．【练习13】（2024•宝山区校级期中）已知，，，．若，则．【练习14】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为．1.数轴法对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示.集合与用数轴表示分别如图所示．2.数轴表示集合间的关系（1）集合与集合的关系是，用数轴表示如图所示．（2）集合或与集合的关系是，用数轴表示如图所示．3.有限集合的子集或者真子集的个数集合的所有子集子集个数真子集个数非空真子集个数10328=23762n1．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有________个．2．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________3．设集合，则， ， （填集合与的关系）4．如果集合，，，那么下列结论中正确的是（）B．C．D．5．已知，若，求的值 6．满足条件a,b⊂的集合M的个数是 7．已知集合，则之间的关系是 8．已知集合，且，，则实数的取值范围是 9．下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．510．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值.11．已知集合，非空集合，且，求实数的取值范围；12．已知，，，求的取值范围.13．设集合求集合的所有非空子集元素和的和.14．已知集合A＝|－1≤＜4，B＝|－4＋3＝0．若B⊂A，求实数的取值范围.15．若集合M=P=，x0∈M，y0∈P，求与集合M、P的关系16．已知集合，，，且，求的取值范围17．已知集合A=x−4≤x≤3，集合（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，求实数m的取值范围.18.己知集合，⑴求证：任何奇数都是中的元素；⑵判断偶数是否为的元素？请说明理由；⑶求证：属于的两个元素之积仍属于；⑷试求中第个正整数．【知识点】集合的概念【难度】★★★

暑假预习专题第2讲集合之间的关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航子集真子集空集1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点)2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点)3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点)学习重点：了解集合子集的含义，理解集合之间的关系，并能利用性质解决简单的问题。学习难点：通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论。1.子集：定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示结论（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；（2）对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C2.相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3.真子集定义集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作A⊂B(或B⊃A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示4.空集定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性（1）空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；（2）A≠∅，则∅⊂A知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01子集定义对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）；对任何集合，规定；我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如右上图是的维恩图．集合间关系的有关性质（1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论：①；②若且，则；③传递性：若且，则．（2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且，则＂类似．【经典例题】【例1】下列各式中，正确的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误；对于②，任何集合都是本身的子集，②正确；对于③，空集是任何集合的子集，③正确；对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误；所以正确的个数有2个.【技巧归纳】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.【例2】（2025·杨浦·高一上期末）已知集合，且，则_____．【答案】D【解析】由题意，,若时，，满足题意；若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意；又，故若时，解得或，若时，，满足题意，当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意；综上所述，.【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可．【例3】已知集合________．【答案】【解析】方法一(列举法)对于集合A，取k＝…，0，1，2，3，…，得A＝对于集合B，取k＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B＝，故；方法二(通分法)集合A：x＝eq\f(2k＋1,2)(k∈Z)，分子为奇数．集合B：x＝eq\f(k,2)(k∈Z)，分子为整数，∴．【技巧归纳】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列出元素就可以看出两个集合的关系即可．【对点练习】【练习1】若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有___个．【答案】16【练习2】若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【答案】{0，1，2，3，4，5}【练习3】已知集合A=x∣x2−2x−3=0【答案】0或13或【详解】根据题意可知A=x∣x2−2x−3=0=若B≠∅，即a≠0时，可知B=1a，若B⊆A，可知1a=3或1a综上可知a=0或a=13或a=−1.故答案为：0或13【练习4】已知集合A=−1，0，1【答案】14【解析】集合A=−1，0，1，故答案为:14.【练习5】下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【练习6】满足条件{a，b}⊆M⊂{a，bA．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】B【详解】由题意得，当集合M中含有两个元素时，M={a，当集合M中含有三个元素时，{a，当集合M中含有四个元素时，{a，综上所述集合M的个数为7个，故选B.知识点02真子集定义对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂真包含于＂（或＂真包含＂）．【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】对于常用的数集，我们有如下的包含关系：性质：（1）任何集合都不是它本身的真子集．（2）若，且，则．（3）若，且，则．（1）若和同时成立，则更能准确表达集合、之间的关系．（2）真子集是子集的一种特殊情况.（3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素．【经典例题】【例4】满足的集合的个数为____________.【答案】7【详解】解：因为，所以集合中一定有元素，所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个.【易错提醒】根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案.【例5】若集合A＝{(m，n)|nm+1＝1，m，n∈R}，B＝{(m，n)|n＝1＋m，m，n∈R}则A与B的关系是______________.【答案】A⊂B【详解】A＝{(m，n)|nm+1＝1，m，n∈R}，表示直线y=1+m上除点−1所有点，B＝{(m，n)|n＝1＋m，m，n∈R}，表示直线y=1+m上的所有点，所以A⊂B，故答案为：A⊂B.【易错提醒】本题考查了集合的包含关系，解决此题的关键是确定集合中的元素.【对点练习】【练习8】已知，则A与B之间的包含关系为.【答案】A【练习9】已知集合，集合，若B⊆A，实数的取值范围是 ，若，实数的取值范围是 .【答案】【易错提醒】本题考查集合的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地找到参数的不等关系．知识点03集合相等定义已知两个集合与，若，且，则称这两个集合相等，记作．如图是集合的维恩图．两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题.【经典例题】【例6】已知集合和，那么（

）A． B． C． D．【答案】C.【详解】由于同号，又，所以均为负数，故则，故对于任意中的元素，满足集合，故，因此.【易错提醒】＂＂是元素与集合之间的关系，如，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成;根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解.【例7】（2023•闵行区校级期中）是有理数集，集合，在下列集合中：①；②，；③，，；④，，．与集合相等的集合序号是．【答案】④．【详解】解：对于①．，设，，，则，不妨取，，可知，而，，显然，故①的集合与不相等；对于②．令，，，则，显然，但，，故②的集合与不相等：对于③．当，，，时，，故③的集合与不相等；对于④．令，，，，，，，其中，，，故④的集合与相等．故答案为：④．【易错提醒】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合一致即可．【例8】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为．【答案】1．【详解】解：由题意，，且，解得，且，，因为，所以或，由，可得，（舍去）；由，可得，（舍去）或，；所以；故答案为：1．【易错提醒】根据元素的互异性，确定，的范围，根据集合相等列方程求，即可．【例9】（2024•浦东新区校级月考）下列关系式错误的个数为：①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】空集不含任何元素，错误，①错误；空集是任何集合的子集，正确，②正确；0是自然数，正确，③正确；，错误，④错误，错误的个数为2；故选：．【易错提醒】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可.【对点练习】【练习10】（2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个.【答案】3【详解】由题意可知：可以是：，，共3个，【练习11】设是有理数，集合，，，，在下列集合中；（1），；（2），；（3），；（4），；与相同的集合有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】【分析】将，分别代入（1），（2），（3），化简并判断，与，是否一一对应，再举反例判断（4）．【详解】解：对于（1）由，可得，，一一对应，则，，故（1）符合；对于（2）由，可得，，一一对应，则，，故（2）符合；对于（3）由，可得，，一一对应，则，，故（3）符合；对于（4），但方程无解，则，与不相同；故选：．【练习12】（2024•浦东新区校级期中）已知集合，0，，，0，，且，则．【答案】1【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性．【详解】解：集合，0，，，0，，且，则，解得或，当，，0，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；，，0，，符合题意．故答案为：1．【练习13】（2024•宝山区校级期中）已知，，，．若，则．【答案】1【分析】由集合相等的定义可得或，由此即可求解．【详解】解：因为，则或，解得，故答案为：1．【练习14】（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为．【答案】1【分析】根据元素的互异性，确定，的范围，根据集合相等列方程求，即可．【详解】解：由题意，，且，解得，且，，因为，所以或，由，可得，（舍去）；由，可得，（舍去）或，；所以．故答案为：1．1.数轴法对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示.集合与用数轴表示分别如图所示．2.数轴表示集合间的关系（1）集合与集合的关系是，用数轴表示如图所示．（2）集合或与集合的关系是，用数轴表示如图所示．3.有限集合的子集或者真子集的个数集合的所有子集子集个数真子集个数非空真子集个数10328=23762n1．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A有________个．【答案】162．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【答案】{0，1，2，3，4，5}3．设集合，则， ， （填集合与的关系）【答案】；；4．如果集合，，，那么下列结论中正确的是（）B．C．D．【答案】C5．已知，若，求的值 【答案】6．满足条件a,b⊂的集合M的个数是 【答案】77．已知集合，则之间的关系是 【答案】A⊂8．已知集合，且，，则实数的取值范围是 【答案】9．下列五个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A10．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值.【答案】x＝y＝－111．已知集合，非空集合，且，求实数的取值范围；【答案】12．已知，，，求的取