初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第4讲 命题、充分条件和必要条件（原卷版及解析）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第4讲命题、充分条件和必要条件内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航真命题、假命题充分条件必要条件1.知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的真假。2.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断；能够通过反例说明既非充分又非必要条件。3.能借助推出关系判断充分条件、必要条件。学习重点：通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。学习难点：在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养。1、命题定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）；判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.说明：①命题必定由条件与结论两部分组成；②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）；2、推出关系：如果命题“若α，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作α⇒β（或β⇐α）.因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若α⇒β且β⇒γ，则α⇒γ.它是逻辑推理的基础.3、充分条件，必要条件、充要条件（1）充分条件、必要条件：对于两个陈述句α与β，如果α⇒β，就称α是β的充分条件，亦称β是α的必要条件.（2）充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．4、常用结论：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01命题1、用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述；其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题。（1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个，要分清哪个是条件哪个是结论；（2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可；（3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题。2、如果命题＂若，则＂是真命题，那么就称推出，记作（或）；因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则；它是逻辑推理的基础．注意：＂若，则＂与＂＂一样吗？不能将＂若，则＂与＂＂混为一谈，＂若，则＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若，则＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若，则＂为真命题。【经典例题】【例1】中至少有一个是非负实数的等价命题是（

）A．中全不是负数 B．中只有一个是负数C．中至少有一个是正数 D．不全是负数【技巧归纳】根据等价命题的判定直接得到结果.【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题．(1)当时，；(2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除；(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等．【技巧归纳】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题.【例3】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③；④至少存在一个整数x，使得是整数．其中是真命题的为（

）．A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【技巧归纳】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题.【例4】（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题；（2）判断上述四个命题的真假，并说明理由．【技巧归纳】（1）要写出一个命题的其他三种形式，首先要将原命题改写成“如果……，那么……”的形式，再根据逆命题、否命题、逆否命题的定义，写出其他三种形式的命题；（2）先判断出原命题和逆命题的真假，真命题进行证明，假命题可举出反例，然后利用互为逆否的两个命题同真假，去判断否命题和逆否命题的真假.【对点练习】【练习1】下列语句：①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格；③2不是素数；④0是自然数.其中是命题的语句的序号有.【练习2】下列语句不是命题的是．（填序号）①若，，则；②；③．【练习3】（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是命题．（填“真”或“假”）【练习4】“且”的否定形式为.【练习5】在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（

）A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒【练习6】命题“若，则”的逆否命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【练习7】写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假．知识点02充分条件与必要条件1、一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作；相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作；如果，并且，那么就说与等价，记作.（1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即；（2）根据定义，如果推不出，那么就称不是的充分条件，亦称不是的必要条件；（3）对于命题＂若，则＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件．2、对于两个陈述句与，如果既有，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作＂与等价＂或＂成立当且仅当成立＂．探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句与，如果既没有，又没有，那么既不是的充分条件也不是的必要条件，我们称是的既非充分又非必要条件．【经典例题】【例5】判断下列命题中p是q的什么条件．(1)p：，q：；(2)p：有两个角相等，q：是正三角形；(3)若，，p：，q：．【易错提醒】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可；（2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可；（3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可..【例6】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合，，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【易错提醒】由求得或，然后即可得出答案.【例7】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是.【易错提醒】把充分关系转化为子集关系，即可求解.【例8】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是.【易错提醒】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可.【例9】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的【易错提醒】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论.【例10】（24-25高一上·上海奉贤·月考）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（

）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【易错提醒】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断.【例11】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合，非空集合.(1)若，求：的取值集合；(2)若是的必要条件，求：的取值集合.【易错提醒】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论.（2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论.【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件.【易错提醒】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明.【对点练习】【练习8】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的条件．【练习9】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是.【练习10】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是.【练习11】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是.【练习12】“若，则”的否定形式为．【练习13】（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（

）．A．且B．且C．且 D．或【练习14】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（

）①；②.A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【练习15】（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是（

）.A．存在实数x，使得 B．对任意的实数x，都有C．存在实数x，使得 D．存在无数个实数x，使得【练习16】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（

）①；②A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题1.命题“已知，如果，那么或”的逆否命题为.2.命题“若，则且”的逆否命题是．3．（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为．4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为5．（24-25高一上·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为6．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为．7．（24-25高一上·上海·月考）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为.8．（24-25高一上·上海·月考）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则9.（24-25高一上·上海·月考）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．10．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（

）.A．充分非必要条件B．必要非充要条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件11．若：“”，：“”，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．是的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（24-25高一上·上海·月考）设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（

）①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集；②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集；③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集；④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个16．（24-25高一上·上海·月考）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题：①对于任意，都有；②对于任意，都有；则（

）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题17．用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要18．（24-25高一上·上海·月考）设集合，.(1)若，求实数的值；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.19.（24-25高一上·上海·月考）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且，(1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围；(2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围；(3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．

暑假预习专题第4讲命题、充分条件和必要条件内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航真命题、假命题充分条件必要条件1.知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的真假。2.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断；能够通过反例说明既非充分又非必要条件。3.能借助推出关系判断充分条件、必要条件。学习重点：通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。学习难点：在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养。1、命题定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）；判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.说明：①命题必定由条件与结论两部分组成；②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）；2、推出关系：如果命题“若α，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作α⇒β（或β⇐α）.因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若α⇒β且β⇒γ，则α⇒γ.它是逻辑推理的基础.3、充分条件，必要条件、充要条件（1）充分条件、必要条件：对于两个陈述句α与β，如果α⇒β，就称α是β的充分条件，亦称β是α的必要条件.（2）充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．4、常用结论：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01命题1、用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述；其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题。（1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个，要分清哪个是条件哪个是结论；（2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可；（3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题。2、如果命题＂若，则＂是真命题，那么就称推出，记作（或）；因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则；它是逻辑推理的基础．注意：＂若，则＂与＂＂一样吗？不能将＂若，则＂与＂＂混为一谈，＂若，则＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若，则＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若，则＂为真命题。【经典例题】【例1】中至少有一个是非负实数的等价命题是（

）A．中全不是负数 B．中只有一个是负数C．中至少有一个是正数 D．不全是负数【答案】D【详解】中至少有一个是非负实数，则中非负实数的个数大于等于个，其等价命题为：中不全是负数；故选：D.【技巧归纳】根据等价命题的判定直接得到结果.【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题．(1)当时，；(2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除；(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析【详解】（1）若，则；逆命题：若，则.（2）若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除；逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除．（3）若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上．【答案】D【技巧归纳】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题.【例3】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③；④至少存在一个整数x，使得是整数．其中是真命题的为（

）．A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【答案】A【详解】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确；因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；因为，故③正确；取，则是整数，故④正确；故选：A.【技巧归纳】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题.【例4】（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题；（2）判断上述四个命题的真假，并说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题.【详解】（1）原命题可改写成：如果两个数都是有理数，那么这两个数的和是有理数；逆命题：如果两个数的和是有理数，那么这两个数都是有理数；否命题：如果两个数不都是有理数，那么这两个数的和不是有理数；逆否命题：如果两个数的和不是有理数，那么这两个数不都是有理数．（2）原命题是真命题，证明如下：设，都是有理数，则令，（，，，，且），，∵，，且，∴是有理数．由于逆否命题与原命题是等价命题，所以逆否命题也是真命题，逆命题是假命题，其反例如下：设，，则是有理数，但，都不是有理数；由于逆命题与否命题是等价命题，所以否命题也是假命题．【技巧归纳】（1）要写出一个命题的其他三种形式，首先要将原命题改写成“如果……，那么……”的形式，再根据逆命题、否命题、逆否命题的定义，写出其他三种形式的命题；（2）先判断出原命题和逆命题的真假，真命题进行证明，假命题可举出反例，然后利用互为逆否的两个命题同真假，去判断否命题和逆否命题的真假.【对点练习】【练习1】下列语句：①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格；③2不是素数；④0是自然数.其中是命题的语句的序号有.【答案】③④【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题，所以①为疑问句，不是命题；②不能判断真假，不是命题；③为假命题；④为真命题；所以是命题的语句的序号有③④；故答案为：③④.【练习2】下列语句不是命题的是．（填序号）①若，，则；②；③．【答案】②【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题；对于②：，不能判断真假，故不是命题；对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题；故答案为：②【练习3】（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是命题．（填“真”或“假”）【答案】假【分析】通过取反例即可判断.【详解】取，满足，显然不成立，所以命题为假命题；故答案为：假.【练习4】“且”的否定形式为.【答案】或【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论.【详解】原命题的否定形式为：或，故答案为：或.【练习5】在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（

）A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒【答案】C【分析】根据原命题和其逆否命题同真假即可解.【详解】“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”；故选：C.【练习6】命题“若，则”的逆否命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据逆否命题的定义，易求出命题的逆否命题.【详解】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题，即命题“若，则”的逆否命题是若“，则”；故选：C．【练习7】写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假．【答案】逆命题：若，则（假命题）；否命题：，则（假命题）；逆否命题：若，则（假命题）.【分析】根据原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的关系直接写结果，再举例说明假命题.【详解】因为命题“若，则”的逆命题为“若，则”；否命题为“若，则”；逆否命题为“若，则”；所以“若，则”的逆命题为：若，则；否命题：，则；逆否命题：若，则．因为时，所以逆命题为假命题；因为时，所以否命题为假命题；因为时，所以逆否命题为假命题.知识点02充分条件与必要条件1、一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作；相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作；如果，并且，那么就说与等价，记作.（1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即；（2）根据定义，如果推不出，那么就称不是的充分条件，亦称不是的必要条件；（3）对于命题＂若，则＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件．2、对于两个陈述句与，如果既有，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作＂与等价＂或＂成立当且仅当成立＂．探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句与，如果既没有，又没有，那么既不是的充分条件也不是的必要条件，我们称是的既非充分又非必要条件．【经典例题】【例5】判断下列命题中p是q的什么条件．(1)p：，q：；(2)p：有两个角相等，q：是正三角形；(3)若，，p：，q：．【答案】(1)p是q的充分非必要条件；(2)p是q的必要非充分条件；(3)p是q的充要条件．【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件；（2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件；（3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件．【易错提醒】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可；（2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可；（3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可..【例6】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合，，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【详解】由可得，解得或；所以“”是“”的充分非必要条件；故选：A.【易错提醒】由求得或，然后即可得出答案.【例7】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是.【答案】【详解】由是的充分条件，且：，：，可得：是的子集，所以：；故答案为：.【易错提醒】把充分关系转化为子集关系，即可求解.【例8】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是.【答案】【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集，可得，解得，所以实数的取值范围是；故答案为：.【易错提醒】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可.【例9】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的【答案】充分不必要【详解】依题意，有，则，而推不出，故p是s的充分不必要条件；故答案为：充分不必要.【易错提醒】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论.【例10】（24-25高一上·上海奉贤·月考）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（

）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以，即“”是“”的必要条件，如果，那么和的整数部分不一定相同，例如，所以“”不是“”的充分条件.综上，“”是“的必要不充分条件；故选：B.【易错提醒】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断.【例11】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合，非空集合.(1)若，求：的取值集合；(2)若是的必要条件，求：的取值集合.【答案】(1)；(2).【详解】（1）化简得，所以或，所以，因为，所以且，所以，即，所以或，当时，解得或，即不符合题意，舍去；经检验，当时，满足题意；故.（2）若是的必要条件，则且，所以或或或或或，①由（1）可知，当时，；②当时，，解得或，显然不成立；当，显然，不符合题意，舍去；③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去；当时，显然，不符合题意，舍去；④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去；故和也不成立，所以舍去；综上所述：【易错提醒】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论.（2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论.【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件.【答案】证明见解析【详解】证明：（充分性）将代入方程，得，即，解得，为整数根；将代入方程，得，即，解得或，为整数根；所以是两个方程的根都是整数的充分条件；（必要性）若方程有实根，则，即，若方程有实根，则即，即，所以上述两个方程都有实根等价于，，，当时，方程可化为，无整数根；当时，方程可化为，无整数根；当时，上述两个方程都有整数根，所以上述两个方程都有整数根的必要条件是；综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是.【易错提醒】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明.【对点练习】【练习8】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的条件．【答案】充分不必要条件【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可【详解】因为，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.【练习9】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解.【详解】由是的充分条件，且：，：，可得：是的子集，所以：；故答案为：.【练习10】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可.【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集，可得，解得，所以实数的取值范围是；故答案为：.【练习11】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是.【答案】【分析】首先写成充要条件，再证明即可.【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件，证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为，所以，且，所以.充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、，则，由知：，即两根异号，所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根.因此是方程有两个异号实根的充要条件；故答案为：.【练习12】“若，则”的否定形式为．【答案】若，则或【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若，则”的否定形式：若，则或.故答案为：若，则或.【练习13】（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（

）．A．且B．且C．且 D．或【答案】C【分析】根据命题的否定的概念求解即可.【详解】“或”的否定形式是：且；故选：C【练习14】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（

）①；②.A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【答案】B【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假.【详解】①因为，，所以，真命题，②当时，，此时，假命题；故选：B.【练习15】（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是（

）.A．存在实数x，使得 B．对任意的实数x，都有C．存在实数x，使得 D．存在无数个实数x，使得【答案】A【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，因此命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是存在实数x，使得，故选：A．【练习16】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（

）①；②A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【答案】B【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假.【详解】①因为，，所以，真命题，②当时，，此时，假命题；故选：B.1.命题“已知，如果，那么或”的逆否命题为.【答案】如果且，那么【分析】根据逆否命题的定义和复合命题的否定即可写出原命题的逆否命题.【详解】“或”的否定是“且”，“”的否定是“”，所以原命题的否定是“如果且，那么”，故答案为：如果且，那么.2.命题“若，则且”的逆否命题是．【答案】若或，则【分析】利用逆否命题的定义求解.【详解】由逆否命题的定义得：“若，则且”的逆否命题是,若或，则,故答案为：或，则,3．（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为．【答案】且【分析】根据或命题的否定为且命题，注意相应条件取反，即可写出原命题的否定形式.【详解】由或命题的否定为且命题，则原命题的否定为且；故答案为：且.4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为【答案】【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可.【详解】由或，则的否定形式为；故答案为：5．（24-25高一上·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为【答案】【分析】根据命题的真假得出结论．【详解】命题“若，则”是真命题，则，故答案为：．6．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为．【答案】满足满足【分析】分析可知所有满足条件的元素都满足条件，结合子集关系分析得解.【详解】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件，所以满足满足；故答案为：满足满足.7．（24-25高一上·上海·月考）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为.【答案】【分析】根据题意在集合中选取的值，满足.【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为.故答案为：.8．（24-25高一上·上海·月考）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则【答案】②③④【知识点】判断命题的真假、描述法表示集合【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断.【详解】①若，①错误，②，②正确，③，③正确，④，④正确，⑤若，⑤错误；故答案为：②③④.9.（24-25高一上·上海·月考）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．【答案】【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可.【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根，设两根为，则有，解得；命题乙为真时，则关于的方程没有实数根，有，解得.若甲、乙有且只有一个是真命题，当甲真乙假时，则有，解得；当甲假乙真时，则有，解得.实数的取值范围是；故答案为：.10．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（

）.A．充分非必要条件B．必要非充要条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.【详解】由可得，且：，所以是的必要非充要条件；选：B11．若：“”，：“”，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据由充分、必要条件的概念判断即可.【详解】由：，即，：，所以是的充分不必要条件；故选：A.12．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，反之不成立，如：，满足，所以“”是“”的充分不必要条件；选：A13．是的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的并集运算来判断与之间的条件关系.【详解】若，根据并集的定义,所以当时，一定有，即由能推出，所以是的充分条件；若，则可能属于，也可能属于，不一定有.例如，，当时，，但，即由不能推出，所以不是的必要条件；综上，是的充分不必要条件