初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第6讲 等式的性质与方程的解集（原卷版及解析）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第6讲等式的性质与方程的解集内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航集合集合的表示方法列举法与描述法1.掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的素养；2.会用集合表示一元一次方程、二元一次方程和方程组的解集；3.解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。学习重点：掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的素养。学习难点：解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。1、等式具有以下性质:(1)传递性设a、b、c均为实数，如果a=b，且b=c，那么a=c；(2)加法性质设a、b、c均为实数，如果a=b，那么a+c=b+c；(3)乘法性质设a、b、c均为实数，如果a=b，那么ac=bc．2、不等式的性质：(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，3、常用方法：1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法：①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论；②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论；③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得结论.2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c；若a<b，其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01等式的性质和一元一次方程（不等式）的解1、用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式.等式具有以下性质:（1）传递性设、、均为实数，如果，且，那么；（2）加法性质设、、均为实数，如果，那么；（3）乘法性质设、、均为实数，如果，那么.2、因式分解的常用公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式；（3）立方和公式；（4）立方差公式；（5）三数和平方公式；（6）两数和立方公式；（7）两数差立方公式；（8）欧拉公式.3、次方差公式：根据以上规律，可以归纳出乘法公式：（为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：（为非零自然数）这个公式称为次方差公式；由这个公式易得；定理：若为正偶数，则与同时成立.4、因式分解的常用方法：提去公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．5.含有未知数的等式称为方程：使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合；根本概念是不一样的.【经典例题】【例1】分解因式：________；________．【技巧归纳】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解.【例2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则．【技巧归纳】由题意列出方程组，即可得答案．【例3】求关于x的方程的解集，其中a是常数.【技巧归纳】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果.【例4】（21-22高一上·上海奉贤·月考）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的（结果用集合或区间表示）.【技巧归纳】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解，可得或，从而可求出结果.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为.【练习2】（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是.【练习3】已知的解集为，则不等式的解集为.【练习4】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（

）A．B．C． D．【练习5】已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（

）A．B．，或C． D．，或知识点02一元一次不等式的解1、由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.2、我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．定理：如果、是互质的正整数，是整数，且方程①有一组整数解、，则此方程的一切整数解可以表示为（为任意正整数）证明：因为、是方程①的整数解，当然满足②因此．这表明，也是方程①的解．设、是方程①的任一整数解，则有③③-②得④由于（互质），所以｜，即，其中是整数．将代入④，即得；因此、可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．对二元一次方程组的理解（1）方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量；（2）通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解.【经典例题】【例5】设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则.【易错提醒】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案..【例6】不等式组的解集为【易错提醒】由一元一次不等式的解法分别求解取交集即可．【例7】求的整数解．【易错提醒】二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的；将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．【对点练习】【练习6】求方程6x+22y=90的非负整数解．【练习7】是否存在整数a、b、c，满足，若存在，求出a、b、c的值；若不存在，说明理由．【易错提醒】对原式进行整理化简，根据结果为2，即可通过解方程组求得结果.1．已知不等式组解为，则的值为.2.不等式的解为．3．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是”是命题（填“真”或“假”）4．已知，方程的解集为.5．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则6．设，则方程的解集为.7．若等式恒成立，则常数a与b的和为.8．下列式子中变形错误的是（

）A．，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．设a、，求关于x的方程的解集．10．若，，b，，则的最小值为（

）A．B．C． D．11．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（

）组．A．1 B．2 C．3 D．412.设a、b、c、d都是自然数，且，求d－b的值．13.求方程7x+19y=213的所有正整数解．14．已知，，若命题p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

暑假预习专题第6讲等式的性质与方程的解集内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航集合集合的表示方法列举法与描述法1.掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的素养；2.会用集合表示一元一次方程、二元一次方程和方程组的解集；3.解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。学习重点：掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的素养。学习难点：解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。1、等式具有以下性质:(1)传递性设a、b、c均为实数，如果a=b，且b=c，那么a=c；(2)加法性质设a、b、c均为实数，如果a=b，那么a+c=b+c；(3)乘法性质设a、b、c均为实数，如果a=b，那么ac=bc．2、不等式的性质：(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，3、常用方法：1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法：①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论；②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论；③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得结论.2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c；若a<b，其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01等式的性质和一元一次方程（不等式）的解1、用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式.等式具有以下性质:（1）传递性设、、均为实数，如果，且，那么；（2）加法性质设、、均为实数，如果，那么；（3）乘法性质设、、均为实数，如果，那么.2、因式分解的常用公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式；（3）立方和公式；（4）立方差公式；（5）三数和平方公式；（6）两数和立方公式；（7）两数差立方公式；（8）欧拉公式.3、次方差公式：根据以上规律，可以归纳出乘法公式：（为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：（为非零自然数）这个公式称为次方差公式；由这个公式易得；定理：若为正偶数，则与同时成立.4、因式分解的常用方法：提去公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．5.含有未知数的等式称为方程：使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合；根本概念是不一样的.【经典例题】【例1】分解因式：________；________．【答案】；.【详解】=；，故答案为：，.【技巧归纳】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解.【例2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则．【答案】5【详解】因为恒成立，即恒成立，所以，所以；故答案为：5.【技巧归纳】由题意列出方程组，即可得答案．【例3】求关于x的方程的解集，其中a是常数.【答案】答案见解析【详解】因为，则，当时，方程无解，即解集为；当时，，即解集为；综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为.【技巧归纳】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果.【例4】（21-22高一上·上海奉贤·月考）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的（结果用集合或区间表示）.【答案】【详解】由，得，，得或，因为不等式组有且只有一个实数解，所以或，解得或，所以实数的取值范围为，故答案为：.【技巧归纳】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解，可得或，从而可求出结果.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为.【答案】且【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可.【详解】因为方程组的解集为，所以消元后无解，所以且，解得且；故答案为：且.【练习2】（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是.【答案】【分析】把代入不等式即可求解.【详解】因为，故，解得：，所以a的取值范围是；故答案为：.【练习3】已知的解集为，则不等式的解集为.【答案】【分析】分析可知是方程的解，且有，得出、的等量关系，化简不等式，即可得解.【详解】因为的解集为，则，所以，且，故，不等式即为，即，解得，因此，不等式的解集为；故答案为：.【练习4】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可．【详解】当时，方程为，解得；当时，方程为，解得，舍去；当时，方程为，解得，舍去；当时，方程为，解得综上，方程的解集为；故选：D.【练习5】已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（

）A．B．，或C． D．，或【答案】D【分析】根据题意先对进行化简后，然后解不等式后进行求解.【详解】由题意得，从而可知：，化简得：，解之得：或，故解集为：，故D项正确；故选：D.知识点02一元一次不等式的解1、由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.2、我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．定理：如果、是互质的正整数，是整数，且方程①有一组整数解、，则此方程的一切整数解可以表示为（为任意正整数）证明：因为、是方程①的整数解，当然满足②因此．这表明，也是方程①的解．设、是方程①的任一整数解，则有③③-②得④由于（互质），所以｜，即，其中是整数．将代入④，即得；因此、可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．对二元一次方程组的理解（1）方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量；（2）通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解.【经典例题】【例5】设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则.【答案】3【详解】两式相减，得到，当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集．当时，方程的解为，解不是空集；综上，；故答案为：.【易错提醒】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案..【例6】不等式组的解集为【答案】【详解】由题意可得，，解可得，，故答案为：【易错提醒】由一元一次不等式的解法分别求解取交集即可．【例7】求的整数解．【解析】解法一：将方程变形得因为是整数，所以应是11的倍数；由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为（为整数）.解法二：先考察，通过观察易得：11×(-4)+15×(3)=1，所以：11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取，．从而（为整数）可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的；将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．【易错提醒】二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的；将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．【对点练习】【练习6】求方程6x+22y=90的非负整数解．【解析】因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，，是方程3x+11y=1②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是，．【练习7】是否存在整数a、b、c，满足，若存在，求出a、b、c的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，a=3，b=2，c=2.【解析】原式等价于32a⋅2故−3a+b+4c=12a−2b−c=0b−c=0，解得【易错提醒】对原式进行整理化简，根据结果为2，即可通过解方程组求得结果.1．已知不等式组解为，则的值为.【答案】1【分析】根据已知求出的值即得解.【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2<x<3，所以且，∴a=3，b=4，∴；故答案为：1.2.不等式的解为．【答案】【分析】根据不等式的性质求解．【详解】因为，所以原不等式的解为．故答案为：．3．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是”是命题（填“真”或“假”）【答案】假【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论.【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且，由得，当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为；当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为.故原命题为假命题；故答案为：假.4．已知，方程的解集为.【答案】【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可.【详解】当时，则；当时，则；当时，则；综上所述，原方程的解集为；故答案为：.5．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则【答案】【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求．【详解】因为恒成立，即恒成立，所以，解得，，，，所以；故答案为：．6．设，则方程的解集为.【答案】【分析】按题意分类讨论即可求解.【详解】时，原式，不合题意；时，原式；时，原式即恒成立；时，原式，不合题意；故，故答案为：.7．若等式恒成立，则常数a与b的和为.【答案】2【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.【详解】等式恒成立，即恒成立，则有，解之得，故，故答案为：2.8．下列式子中变形错误的是（

）A．，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据等式的性质，逐项验证即可.【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确；对于选项，没有说明，故不正确；对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确；对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；故选：.9．设a、，求关于x的方程的解集．【答案】答案见解析．【分析】将方程转化为，分；，；，；，讨论求解.【详解】方程转化为，当时，解集为；当，时，