初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第9讲一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解（原卷版及解析）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第9讲一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一元一次不等式一元一次不等式组一元二次不等式1.掌握一元一次不等式的解法。2.掌握一元一次不等式组的解法。3.掌握一元二次不等式的解法及其拓展。学习重点：掌握一元二次不等式的解法。学习难点：掌握一元二次不等式中的恒成立问题。1、不等式的解集与不等式组的解集①在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.②一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集；③一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集；④求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式；⑤将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.⑥对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集；【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为；2、一元二次不等式的概念一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式；【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式（1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；都是一元二次不等式；3、用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)；4、用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。5、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(不妨设x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像6、一元二次不等式在求解时应当注意事项（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；（5）写解集：根据图象写出不等式的解集。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01一元一次不等式（组）1、一元一次不等式的求解：在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式.形如的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、、.2、一元一次不等式组的求解：将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解.3、最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况不等式组图示解集口诀同大取大同小取小大小小大中间找大大小小是空集4、含参一元一次不等式(组)的求解含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全.【经典例题】【例1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是.【技巧归纳】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解.【例2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为.【技巧归纳】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得.【例3】解关于的不等式，其中．【技巧归纳】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（

）A． B． C． D．【练习2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数【练习3】（24-25高一上·上海·月考）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是．知识点02一元二次不等式1、特殊一元二次不等式的求解：定义设a,b,c为实数，且，形如或的不等式统称为一元二次不等式．特别地，形如的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则．（1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为1，这里即，但不等式中也可以包含其他字母，如、、等，这里的、、为系数，即为常数．＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为，次数为2，即二次．注意二次项系数不为0，即．若，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式（其中）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为0，则需分类讨论，求不等式的解集．2、利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集：设方程的判别式0或，其两根记为、，且，一元二次不等式的求解结果总结成下表：解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为3、二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系:一元二次方程的两根为、且，其解按照可分三种情况．相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．类别.二次函数的图像一元二次方程的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集x的解集.【经典例题】【例4】已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（

）A．B．C． D．[2,3]【易错提醒】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果..【例5】（24-25高一上·上海金山·期末）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【易错提醒】先求出集合，再根据中恰有一个整数，列出不等式求解.【例6】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（

）A．B．C． D．【易错提醒】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解.【例7】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为．【易错提醒】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解．【对点练习】【练习4】（24-25高一上·上海·月考）已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为.【易错提醒】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可.【练习5】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是.【练习6】（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知一元二次不等式(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)当时，求不等式的解集；1．（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·上海金山·月考）若不等式的解集是，则的解集为．3．（24-25高一上·上海静安·月考）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为.4．（24-25高一上·上海·月考）已知一元二次不等式的解集为，不等式的解集为.5．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是．6．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是.7．（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为8．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是.9．（25-26高一上·上海育才中学·期中）用|A|表示非空集合A中元素的个数，定义A∗B=A−B，A≥B则实数a的所有可能取值构成集合S，则S=（请用列举法表示）．10．（25-26高一上·七宝中学·开学摸底考）集合M=xm≤x≤m+3且M、N都是集合x0≤x≤1的子集，若把b−a叫做集合x那么集合M∩N的长度的最小值为（

）A．23 B．112 C．13 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程；(1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围；(2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值；11．（24-25高一上·上海·月考）根据要求完成下列问题：(1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；(2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围．12.（24-25高一上·上海·月考）设：实数满足；：实数满足．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．13．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的不等式的解集为.(1)若，求的取值范围；(2)若存在，使得，求的取值范围.14．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，．(1)求，的值；(2)若，解不等式组．15．（24-25高一上·上海·期中）设函数.(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；(3)解关于的不等式：.16．（青浦高级中学、嘉定一中、金山中学、闵行中学、崇明中学2025-2026学年高一上学期10月五校联考数学试题）已知不等式2≤ax2+bx+c≤3（1）若a>0，且不等式ax2+（2）解关于x的不等式：ax17．（进才中学2025-2026学年高一上学期第一次数学测试）定义区间m，n、m，n、m，n、m，n的长度均为（2）如果数集A=a−56，a，B=b，最小值和最大值分别是多少？（3）已知不等式组3≤2x−1≤x+72等于6，求实数k的范围．18．（进才中学2025-2026学年高一上学期第一次数学测试）符号x表示不大于x的最大整数（x∈R），例如：1.3=1，2=2（1）解下列两个方程：x=3，2x（2）分别研究当x>0，x<0时，不等式x2（3）求方程4x

暑假预习专题第9讲一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一元一次不等式一元一次不等式组一元二次不等式1.掌握一元一次不等式的解法。2.掌握一元一次不等式组的解法。3.掌握一元二次不等式的解法及其拓展。学习重点：掌握一元二次不等式的解法。学习难点：掌握一元二次不等式中的恒成立问题。1、不等式的解集与不等式组的解集①在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.②一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集；③一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集；④求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式；⑤将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.⑥对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集；【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为；2、一元二次不等式的概念一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式；【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式（1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；都是一元二次不等式；3、用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)；4、用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。5、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(不妨设x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像6、一元二次不等式在求解时应当注意事项（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；（5）写解集：根据图象写出不等式的解集。知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01一元一次不等式（组）1、一元一次不等式的求解：在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式.形如的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、、.2、一元一次不等式组的求解：将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解.3、最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况不等式组图示解集口诀同大取大同小取小大小小大中间找大大小小是空集4、含参一元一次不等式(组)的求解含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全.【经典例题】【例1】（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是.【答案】【详解】对于，当时，解得，不满足题意；当时，与矛盾，即不等式组无实数解，综上，;故答案为：.【技巧归纳】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解.【例2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为.【答案】【详解】由关于x的不等式的解集为，得1是关于的方程的根，且，因此，即，而，解得，所以实数a的值为;故答案为：.【技巧归纳】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得.【例3】解关于的不等式，其中．【答案】答案见解析【详解】原不等式整理为．当时，解得，解集为，当时，解得，解集为，当时，则，为任意实数，解集为．【技巧归纳】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可.【详解】当时，，则，不等式解集为；当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集；当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为；当时，，则，不等式解集为；故不等式解集不可能为;故选：C.【练习2】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数【答案】【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可.【详解】由不等式可化为，当，即时，不等式的解集为，符合题意；当，即时，不等式可化为，不符合题意；当，即时，不等式可化为，不符合题意；综上，实数;故答案为：.【练习3】（24-25高一上·上海·月考）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是．【答案】【分析】画出数轴即可求解.【详解】利用数轴，画出，如下图，由一元一次不等式组的解为，可知.故答案为：.知识点02一元二次不等式1、特殊一元二次不等式的求解：定义设a,b,c为实数，且，形如或的不等式统称为一元二次不等式．特别地，形如的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则．（1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为1，这里即，但不等式中也可以包含其他字母，如、、等，这里的、、为系数，即为常数．＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为，次数为2，即二次．注意二次项系数不为0，即．若，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式（其中）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为0，则需分类讨论，求不等式的解集．2、利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集：设方程的判别式0或，其两根记为、，且，一元二次不等式的求解结果总结成下表：解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为解集为3、二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系:一元二次方程的两根为、且，其解按照可分三种情况．相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．类别.二次函数的图像一元二次方程的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集x的解集.【经典例题】【例4】已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（

）A．B．C． D．[2,3]【答案】B【详解】由题设且，所以，所以不等式的解集为;故选：B.【易错提醒】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果..【例5】（24-25高一上·上海金山·期末）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知可得集合或,由解得，，所以，因为，所以，则，且小于0，由中恰有一个整数，所以，即，也即，解得，故选：B．【易错提醒】先求出集合，再根据中恰有一个整数，列出不等式求解.【例6】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】时，，不等式可化为，因为，且，所以，，解原不等式，得，所以原不等式的解集为；故选：C.【易错提醒】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解.【例7】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为．【答案】．【详解】由可得，由可得，若不等式组没有实数解，则；故答案为：．【易错提醒】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解．【对点练习】【练习4】（24-25高一上·上海·月考）已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为.【答案】【详解】由题意，为方程的根，且，则，解得，，则不等式为，即，即，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.【易错提醒】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可.【练习5】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是.【答案】【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集.【详解】由一元二次不等式的解集为，所以方程的两根为和，则，，，，所以不等式为，解得，即不等式的解集为；故答案为：.【练习6】（24-25高一上·上海嘉定·月考）已知一元二次不等式(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)当时，求不等式的解集；【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得，然后代入利用一元二次不等式解法计算即可.（2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可.【详解】（1），所以，所以不等式为，所以解集为.（2）当时，不等式，即当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；1．（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解.【详解】，若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，所以；故选：A2．（24-25高一上·上海金山·月考）若不等式的解集是，则的解集为．【答案】【分析】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得，然后再解不等式可得．【详解】不等式的解集是，是方程的两根，由根与系数的关系可得，解得，则化为，解得；的解集为；故答案为：．3．（24-25高一上·上海静安·月考）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据不等式的解集得出a与b、c的关系，再代入不等式中化简求解集即可．【详解】不等式的解集为，所以和1是的实数根，且，所以，可得，所以不等式可化为，即，整理可得，解得或，所以不等式的解集为．故答案为：．4．（24-25高一上·上海·月考）已知一元二次不等式的解集为，不等式的解集为.【答案】【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集.【详解】根据一元二次不等式的解集为，可得的根为，则，所以，不等式为，解集为或，故答案为：.5．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是．【答案】．【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或，若为真命题，则或，则有，对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或，若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况，①假真，为假时，或；为真时，或，假真不能同时成立，此时无解；②真假，为真时，；为假时，且，此时或；综合可得：或，即的取值范围为．故答案为：．6．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是.【答案】【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可；【详解】当时，方程为，解得；当时，方程至少有一个实根，则，解得，综上，实数的取值范围是；答案为：.7．（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为【答案】【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解.【详解】因为，，所以，是方程的两个不等实根，则△，解得．而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以.故答案为：8．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是.【答案】【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可.【详解】设，显然函数的图象开口向上，又的两根一个比2大，另一个比2小，则，即，解得，所以的取值范围为.故答案为：9．（25-26高一上·上海育才中学·期中）用|A|表示非空集合A中元素的个数，定义A∗B=A−B，A≥B则实数a的所有可能取值构成集合S，则S=（请用列举法表示）．【答案】{0，−23，23}【解析】又因为B={x|(x2+ax)(x2解这个方程得①x2+ax=0，或②x2+ax+3=0解方程①得若a2−12>0，即a>23或a<−23时，方程有两个不等实根分别为x3=−a−a2−12若a2−12<0，即−23(I)当a>23或a<−23时，(II)当a=−23或a=23时，(III)当a=0时，|B|=1，所以（1）当|A|≥|B|时，A∗B=|A|−|B|=1，即得|B|=1，此时可得a=0；（2）当|A|<|B|时，即得|B|=3，此时可得a=−23或a=23；故答案为：10．（25-26高一上·七宝中学·开学摸底考）集合M=xm≤x≤m+3且M、N都是集合x0≤x≤1的子集，若把b−a叫做集合x那么集合M∩N的长度的最小值为（

）A．23 B．112 C．13 【答案】B【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合M∩N的“长度”的最小值．【解析】根据新定义可知集合M的长度为34，集合N的长度为13，当集合M与N应分别在区间0，1上的左右两端，故M∩N的长度的最小值是3410．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程；(1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围；(2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值；【答案】(1)或；(2)1或3.【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解；（2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解.【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根，所以，即，解得或；（2）由方程有两个整数根，所以且，，由，所以或，当时，，，所以或，所以，当时，，，所以或，所以，综上，的值为1或3.11．（24-25高一上·上海·月考）根据要求完成下列问题：(1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；(2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围，再结合必要不充分条件的定义计算即可；（2）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可；【详解】（1）由，记；由，记．因为是的必要不充分条件，所以，则且等号不同时成立，解得，综上，的取值范围为；（2）若命题为真，设为的两个不等的负根，则，解得；若命题为真，则当时，不等式化为，恒成立；当时，，解得，于是的范围是．若真假，则，若假真，则，综上，若一真一假，则．12.（24-25高一上·上海·月考）设：实数满足；：实数满足．(1)若是真命题，求实数的取值范围；(2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用绝对值不等式的几何意义，求出的解即可；（2）先求出的范围，再根据q是p的充分不必要条件，列不等式组求解.【详解】（1）表示数轴上的数对应的点到数对应点的距离之和，又数和对应点到数对应点的距离之和为，所以实数的取值范围是；（2）由得，又，此时.由（1）知，，因为q是p的充分不必要条件，则有，即，解得.13．（24-25高一上·上海·月考）已知，关于的不等式的解集为.(1)若，求的取值范围；(2)若存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；（2）由题意可得，且方程有两个不相等的负根，然后根据根与系数的关系列不等式组可求得结果.【详解】（1）当时，或，当时，恒成立，当时，不恒成立，舍去，当时，，得或，综上，的取值范围为，（2）根据不等式的解集形式可知：或，不等式解集的两个端点就是对应方程的根，即，有两个不相等的负根，所以，即，解得，则的取值范围为.14．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，．(1)求，的值；(2)若，解不等式组．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可；（2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可.【详解】（1）由题意，可知，，解得，；（2）由（1）知，，因为，所以，，所以，，所以．所以，，由，得，由，得，综上，原不等式组的解集为.15．（24-25高一上·上海·期中）设函数.(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；(3)解关于的不等式：.【答案】(1)2；(2)：(3)答案见解析【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值；（2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集；（3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可.【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，则，则；（2），则对于实数时恒成立，则，即，解得，∴，则的取值范围为；（3）依题意，等价丁，当时，不等式可化为，解集为.当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或；综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为.16．（青浦高级