江西省吉安市九校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷（含答案）

江西吉安市九校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段训练数学试题一、单选题1．已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（

）A．1 B． C．2 D．2．已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（

）A． B． C． D．3．已知数列的前项和，则（

）A． B． C． D．4．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（

）

A． B． C． D．5．已知等差数列的前项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．6．已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（

）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米8．某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在第4节或第5节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种二、多选题9．已知函数，下列结论正确的是（

）A．有3个零点 B．当时，C．既有极大值又有极小值 D．的图象关于点中心对称10．已知随机变量服从二项分布，若，则（

）A． B．C． D．11．已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则（

）A．是递增数列 B．C． D．的取值范围为三、填空题12．在等比数列中，，则______．13．已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．14．在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________．四、解答题15．在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．16．如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，．(1)求的长度；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．已知函数．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围．18．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．(1)求的方程；(2)已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限．①证明：直线与直线的斜率的乘积为定值．②为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值．19．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上单调递减，求的取值范围；(3)已知，若存在，使得在上恰有3个零点，求的取值范围．附：．参考答案1．D解析：.2．D解析：对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式；对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式．3．A解析：因为，则，所以.4．C解析：由图象可得，在上单调递增，所以时，；在上单调递减，所以当时，；当时，；在上单调递增,当时，．综上，的解集为．5．B解析：因均为等差数列，则.6．D解析：抛物线的准线方程为，因为为等边三角形，所以，而双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即，所以离心率．7．D解析：设底面边长为米，高为米，则，总造价，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以当时总造价最低，即此时底面正方形的边长为4米．8．C解析：若体育课安排在最后1节，则其余4节课的安排方案有种，若体育课安排在倒数第2节，则语文课、数学课可以安排在第1，2节或第2，3节，再安排剩余2节课，不同的安排方案有种，故共有种不同的安排方案．9．BCD解析：，当时，，当时，，在和上单调递增，在上单调递减，既有极大值又有极小值，的极小值为，当时，，只有1个零点，A错误，B，C均正确．，，，所以的图象关于点中心对称，D正确．10．AB解析：随机变量服从二项分布，则．因为，所以，A选项正确，C选项错误；因为，所以，B选项正确，D选项错误．11．BD解析：选项A：，当且仅当时取等号，若，则，是递增数列；若，则，以此类推，是常数列，不是递增数列，故A错误.选项B：当时，，故，则，对任意实数恒成立，故恒成立，故B正确.选项C：由A知，当时，，此时，不能是，故C错误.选项D：由B可知，为递增数列或常数列，若数列有界，则存在极限值，设极限为，对两边取极限，则，解得，则，即，满足必要性；若，利用数学归纳法，假设，则，则数列有界，满足充分性；综上，，故D正确．12．解析：因为数列是等比数列，设公比为，则，又，则，得到，所以.13．解析：．当时，在上单调递增，符合题意．当时，令，解得或，所以在和上单调递增，符合题意．当时，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意．故的取值范围为．14．1解析：在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为，，，，中边上的高为，则，三棱锥的体积，解得，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，得，因此点到平面的距离，所以点到平面的距离的最大值为．15．(1)(2)解析：（1）由，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，解得；（2）①，②，①②得，，所以．16．(1)(2)．解析：（1）连接，因为平面，平面，所以，在正方形中，，，所以，，所以，即，解得；（2）连接，过点作，垂足为，在中，，，，所以，，在中，，，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．(1)0(2)．解析：（1）当时，，符合题意；对于，则，当时，，则在上单调递增，且时，故，当时，所以，若时，取，此时，不符合，同理，当时，若时，取，此时，不符合，综上，的值为0．（2）不等式等价于，令函数，则原不等式等价于，而，则函数在上单调递增，因此，即恒成立，由，解得，所以的取值范围为.18．(1).(2)①证明：设，则．因为，所以直线与直线的斜率分别为．，所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且定值为．②．解析：（1）由离心率，得，则.又点在椭圆上，代入得，即，即，解得，，故椭圆的方程为.（2）①略②设，则，．四边形的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以四边形面积的最大值为．19．(1)(2)(3)解析：（1）当时，．．所求切线方程为，即．（2）法一：．令函数．记的两个根为，且．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以极大值，又当时，．由，解得，此时，．若，则，即．综上，的取值范围为．法二：．因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立．令函数，则．记的两个根为，且．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．，当时，，即，所以的最大值为，所以，故的取值范围为．（3）结合（2）可得，当时，在上单调递减，不符合题意