湖北省十堰市2025-2026学年高二下学期期末评价数学试题含答案

湖北十堰市普通高中2025-2026学年下学期期末评价高二数学试卷

一、单选题

1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a34，S312，则公比q=（）

11

A．2B．C．1或D．2或−1

22

2．曲线f(x)x23lnx在点

1,f1处的切线方程为（）

A．yx2B．yx2C．yx2D．yx2

3．某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1

名医生的选法共有（）

A．15种B．18种C．21种D．25种

2

4．在二项式(x)6的展开式中，常数项为（）

x2

A．−160B．−60C．60D．160

5．已知某地区人群中某种疾病的发病率为0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为0.98，

未患病者检测呈阳性的概率为0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的

概率约为（）

A．0.25B．0.4C．0.5D．0.6

6．为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了200名学生，得到如下2×2列联表：

选物理选历史合计

男生8030110

女生405090

合计12080200

附表：

2

Pk00.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

根据表中数据，得到的结论是（）

A．有95%的把握认为选科意向与性别无关

B．有95%的把握认为选科意向与性别有关

C．有99%的把握认为选科意向与性别无关

D．有99%的把握认为选科意向与性别有关

Sn*

7．已知数列a（非常数列）前n项和为Sn，为等差数列，nN，a11，且S21，S31，S51

nn

成等比数列，则S10的值为（）

A．10B．80C．81D．90

2

x1a

8．设函数fxealnxb，若fx0恒成立，则b的最小值为（）

2

1357

A．B．C．D．

2222

二、多选题

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则下列命题中正确的是（）

A．若S4S8，则d0B．若S50，则a30

C．若S4S6，则S5S6D．若S3S6，则S90

10．已知随机变量X~Bn,p，且E(X)2，DX1，则下列说法正确的是（）

A．n4B．p0.5C．PX10.2D．

PX10.5

11．已知函数fx的定义域为R．若函数f2x3的图像关于点(2,1)对称，f3xf3x10，令

gxfx2x，则（）

A．f35B．fx4fx

C．fx的图像关于点(1,1)对称D．gxgx4

三、填空题

12．已知离散型随机变量X的分布列为

x123

1

pab

3

且

EX2，则DX________.

13．已知函数f(x)x33x的图象与直线ya有三个不同的交点，则a的取值范围是_______.

14．将编号为1，2，3，4，5的5个小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子

放入1个小球，则恰好有2个小球的编号与盒子编号相同的放法共有____种.

四、解答题

15．已知数列an满足a11,an12an1.

(1)求an的通项公式；

1

(2)设bnlog2an1，求数列的前n项和Sn.

bnbn1

16．某工厂生产一批零件，其质量指标X服从正态分布N100,2.现从该批零件中随机抽取9件，测得它

们的质量指标分别为：97,103,97,103,100,100,100,100,100（单位：分）.

(1)求样本均值x和样本方差s2；

(2)若以样本均值作为的估计值，以样本方差作为2的估计值，估计该批零件质量指标在(96,104)内的概

率.

（附：若Z~N0,1，则P(Z2)0.9545，P(Z1)0.6827）

17．某奶茶店为了研究日销售额y（单位：百元）与平均气温x（单位：℃）之间的关系，统计了连续5天

的数据，如下表：

x1214161820

y2529323440

(1)求y关于x的线性回归方程yˆbˆxaˆ；

(2)若某日的平均气温为22C，根据回归方程预测该日的销售额；

(3)计算样本相关系数r（精确到0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度.

（附：355.92）

n

n

(xx)(yy）

(xix)(yiy)ii

（参考公式：bˆi1，ri1）

n​nn

222

(xix)

(xix)(yiy)

i1

i1i1

18．甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两

人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为p，乙每轮投中的概率为q，且每轮

结果相互独立，0p，q1.

(1)求甲在第一轮获胜的概率；

(2)设比赛共进行了X轮（即第X轮有人投中，且前X1轮均无人投中），求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)若p0.6，q0.4，求甲最终获胜的概率.

19．已知函数fxlnxax1aR

(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若fx0对任意x0恒成立，求实数a的取值范围；

111

(3)求证：当nN时，lnn11.

23n

参考答案

1．C

【详解】若q1，则S33a112，a14，a34符合；

4

若q1，则a4aq2，解得a，

311q2

3

a1(1q)4

S12，代入a1，

31qq2

4

(1q3)

得到q2，即得41q312q21q

12

1q

即1q2q2q10，因q1，则得2q2q10，

1

解得q.

2

1

综上可得，q1或.

2

2．A

3

【详解】由fxx23lnxfx2x，

x

所以曲线fxx23lnx在点x1处的切线的斜率为f11，而f113ln11，

因此切线方程为y11x1yx2.

3．B

22

【详解】方法一：总选法C828，全护士C510，故至少有1名医生的选法281018.

112

方法二：至少有1名医生的选法C3C5C335318.

4．C

r6rr2rrr63r

【详解】通项Tr1C6x2xC62x，

2

令63r0得r2，常数项C6460.

5．B

【详解】设事件A为“实际患病”，事件B为“检测结果呈阳性”，

PA0.02，PA10.020.98，PBA0.98，PBA0.03，

PAPBA0.020.98

所以P(A|B)0.4．

PAPBAPAPBA0.020.980.980.03

6．D

【详解】零假设H0为选科意向与性别无关，

2

20080503040

216.56.635，

1109012080

故有99%把握选科意向与性别有关.

7．B

S

【详解】因为n为等差数列，a1，

n1

S

所以数列n的首项为1，设其公差为d，

n

S

则n1(n1)d，

n

所以Snnn(n1)d，

所以S212d1，S316d2，S5120d4，

又因为S21，S31，S51成等比数列，

2

所以(S31)(S21)(S51)，

即(6d2)2(2d1)(20d4)，

解得d0或d1，

当d0时，Snn，

*

当n2,nN时，Sn1(n1)，

所以anSnSn11，为常数数列，不满足题意，故舍去;

2

当d1时，Snnn(n1)n2n，

*2

当n2,nN时，Sn1(n1)2(n1)，

所以anSnSn12n3，不是常数数列，满足题意，

所以d1，

2

所以Snn2n，

2

所以S101021080.

8．C

【详解】由lnxb0xb1xb1；由lnxb0bxb1.

x1

若a0，则ex1a0恒成立，则ealnxb0在b,b1上不成立.

若a0，由ex1a0x1lnaxlna1；由ex1a0xlna1.

由ex1alnxb0恒成立，可得：b1lna1blna2.

a2a2

所以blna2，a0.

22

a2

设galna2，a0.

2

1a21

则gaa，a0.

aa

a0

由ga02a1；由ga00a1.

a10

所以ga在0,1上单调递减，在1,上单调递增.

15

所以ga的最小值为：g1ln12.

22

a25

即b的最小值为.

22

故选：C

9．BD

【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，

A选项：若S4S8，则a5a6a7a80，即2(a5a8)0，a5a8，d不一定为负，可能d0且a50，

故A错；

B选项：S55a30a30，故B正确；

C选项：S4S6a5a60，不能判断a6的正负，即S5S6a6无法判断正负，故C错；

D选项：S3S6a4a5a603a50a50，则S99a50，故D正确.

10．AB

【详解】由E(X)np2，DXnp1p1，联立解得p0.5，n4，A，B正确；

14

PX1C40.50.250.2，C错误；

PX1PX0PX1，

0040

PX0C40.510.50.0625，PX10.25，

则PX10.250.06250.31250.5，D错误.

11．ACD

【详解】解：由f3xf3x10，令x0，则f3f310，

所以f35，A正确；

由函数f2x3的图像关于点(2,1)对称，令t2x3，当x2时，t1，

所以ft的图像关于1,1对称，即fx的图像关于点(1,1)对称，C正确；

由f3xf3x10，用x1替换x得f4xf2x10①，

又fx的图像关于点(1,1)对称，则f1xf1x2，

用x1替换x得fxf2x2②，

①②得f4xfx8，所以f4xfx8，B错误；

由gxfx2x，则gx4fx42x4，

由上可知f4xfx8，

所以gx4fx82x4fx2xgx，D正确.

2

12．

3

12

【详解】由分布列的性质可知ab1，ab，

33

14

由期望公式可得EX1a23b2，即a3b，

33

11

所以a，b，

33

2121212

故DX122232．

3333

13．2,2

【详解】令f(x)3x230，得x1，

可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2.

yf(x)的大致图象如图所示，观察图象，得当2a2时恰有三个不同的交点.

14．20

2

【详解】第一步，从5个盒子中选出2个盒子，使其小球编号与盒子编号相同：C510；

第二步，剩余3个盒子与3个小球，编号全错位（错排），有2种放法；

由分步乘法，总数为10220.

n

15．(1)an21；

n

(2)S.

nn1

【详解】（1）由an12an1，则an112an1，而a112，

n

所以{an1}是首项、公比均为2的等比数列，则an12，

n

所以an21；

n

（2）由（1）bnlog2an1log22n，

1111

所以，

bnbn1nn1nn1

n111n

所以Sn1.

k1kk1n1n1

16．(1)x100，s24

(2)0.9545

9710397103100100100100100

【详解】（1）x100,

9

1222

s297100103100100100

9

36

计算得各偏差平方和为99990000036,故s24.

9

（2）方法一:

由题意,估计X~N100,4,则42.

因为区间96,104即10022,10022可近似看作2,2,

P96X104PZ20.9545

方法二:

由题意，取x100，24，则2，即X~N100,4.

X96100104100

标准化变换Z~N(0,1).P(96X104)PZP2Z2.

22

结合题干给出P(|Z|2)0.9545，可估计该批零件质量指标落在(96,104)内的概率约为0.9545.

17．(1)yˆ1.75x4

(2)4250元

(3)r0.99，正相关

11

【详解】（1）由题意得：x121416182016，y252932344032，

55

5

22222

计算(xix)(4)(2)02440，

i1

5

(xix)(yiy)(4)(7)(2)(3)002248286043270，

i1

70

故bˆ1.75,aˆybˆx321.75164，

40

所以回归方程为yˆ1.75x4；

（2）当x22时，yˆ1.7522442.5（百元），

所以预测该日的销售额为4250元；

5

222222

（3）由题意得：(yiy)(7)(3)0284990464126，

i1

707070

r0.99，

40126123571.04

表明销售额与平均气温高度正相关.

18．(1)p

(2)X的分布列P(Xk)[(1p)(1q)]k1[1(1p)(1q)],k1,2,3,，

1

E(X)

pqpq

15

(3)P

19

【详解】（1）甲在第一轮获胜只需第一轮甲投中，所以概率为p.

（2）每轮两人均未投中的概率为(1p)(1q)，则

P(Xk)[(1p)(1q)]k1[1(1p)(1q)],k1,2,3,

即X服从参数为1(1p)(1q)的几何分布，

11

故E(X).

1(1p)(1q)pqpq

（3）甲最终获胜的事件可以在第k轮甲投中，且前（k1）轮均无人投中：

pp

甲获胜的概率P[(1p)(1q)]k1p，

k11(1p)(1q)pqpq

0.60.615

代入p0.6，q0.4，得P.

0.60.40.240.7619

11

19．(1)当a0时，fx在0,上单调递增；当a0时，f(x)在0,单调递增，在,单调递

aa

减

(2)1,

(3)证明：由（2）知，当a1时，fxlnxx10，

即lnxx1对任意x0恒成立，当且仅当x1取等号.

1*111

令x1kN，则x1，所以ln111，

kkkk

k11nk1n1

所以ln，累加得ln，

kkk1kk1k

k1