2026年高考天津卷数学高考真题含答案

2026年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（1）每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.·如果事件A，B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B).·如果事件A，B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高.·圆锥的体积公式Sh，其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高.合题目要求的.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=-0.91，根据最小二乘法算得：=-1.17x+1370.7，下列说法正确的是()A.y与x负相关B.当x=10时，y一定为1359C.当x=10时，y一定小于1359D.两变量无线性关系4.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A.x+sinπxB.xsinπxC.x+sinπxA.AC//A1C1B.C6.已知函数f(x)=lnx，若a=f(20.3)，b=f(30.3)，c=f(3—0.5)，则a，b，c的大小关系为()A.10B.9C.8A.68B.56C.3D.4229.已知双曲线的左焦点为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足A.4B.C.D.（1）用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共11.(x+2y)4展开式中x3y的系数为.13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是 在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是 . 时，λ+μ的取值范围为 .15.在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为yA、yB、yC、yD，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，以下说法正确的有.①若P与抛物线焦点重合，则yAyB=—2；②yAyB=yCyD；2③OMON=2OP；2④yAyCOP=yByDOM；三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知f=sin（1）求最小正周期；的最大值和最小值；，2C1F（1）求证：BD丄面CEF；（2）求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；（3）求三棱锥A-CEF的体积.2218.已知椭圆的离心率为，椭圆被直线x=b截得的线段长为.（1）求C的标准方程；（2）斜率为-的直线与圆x2+y2=b2相切，且该直线交椭圆于P(x1,y1)，Q(x2,y2)（y1<y2A是椭圆的上顶点．记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；*k或x=bk}，记cn为En中的元素个数.（i）求c3n；20.已知f=ex-sinx.（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；时，证明（3）求实数a的最大可能值，使得f对任意的n∈N*都成立.2026年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（1）每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.如果事件A，B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B).如果事件A，B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高.圆锥的体积公式Sh，其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高.合题目要求的.【答案】D【解析】A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】+3x>0成立，反之不成立，所以“x>0”是“x2+3x>0”的充分而不必要条件.3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=—0.91，A.y与x负相关B.当x=10时，y一定为1359C.当x=10时，y一定小于1359D.两变量无线性关系【答案】A【解析】【详解】因为相关系数r=—0.91，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，所以y与x负相关，所以A正确，D错误；所以B，C错误.4.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A.x+sinπxB.xsinπxC.x+sinπx【答案】C【解析】【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.【详解】由题意，由题意及图得，函数y=f(x)为奇函数，且当x=1时，f(x)<0，对C选项，在g(x)=-x+sinπx中，g(-x)=-(-x)+sin(-πx)=x-sinπx=-g(x)，即该函数为奇函数，5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，错误的是()A.AC//A1C1B.C【答案】D【解析】假设垂直，得出AD丄平面ACD1，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论.【详解】由题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A项，∴四边形ACC1A1是平行四边形，BC∩CD=C，BC平面ABC，CD平面ABC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，//A1B，C1B∴CD1//平面A1C1B，∴平面ACD1//平面A1C1B，C正确；D项，假设平面ADD1丄平面ACD1，则交线为AD1，xx故D错误.6.已知函数f(x)=lnx，若a=f(20.3)，b=f(30.3)，c=f(3一0.5)，则a，b，c的大小关系为()【答案】A【解析】【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简f(x)，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可.0.3A.10B.9C.8【答案】B【解析】所以的最小值为9.A.68B.56C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据前n项和的含义，依次令n=2,3,4，逐步计算即可得到结果.S2S1S4S23469.已知双曲线的左焦点为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足A.4B.C.D.【答案】D【解析】【分析】过点P作PH垂直x轴，垂足为H，根据几何关系用a,c表示出点P坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率.【详解】如图，过点P作PH垂直于x轴，垂足为H，根据双曲线对称性，不妨设点P在第二象限将b2=c2-a2代入上式，整理得(a+3c)2(c2-a2)-3(a+c)2a2=4a2(c2-a2)，二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共【解析】211.(x+2y)4展开式中x3y的系数为.【答案】8【解析】【分析】根据二项式定理得到(x+2y)4展开式的通项公式即可求解.【详解】根据二项式定理，(x+2y)4展开式的通项公式为Tr+1=Cx4一r(2y)r=C2rx4一ryr，=Cx41(2y)1=C21x3y，因此x3y的系数为C21=4×2=8.【解析】由正弦定理可得sinB=13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.第一空：箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。设事件A1表示没取到黄球，事件A2表示三次都没取到黄球，有放回抽取，每次取到非黄球的概率为三次都没取到黄球的概率第二空：设事件B1表示至少取到一次红球，事件B2表示三次都取到白球，∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率37∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是37∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.64 时，λ+μ的取值范围为 ..【解析】1-(t2-1)y2≤1，即可求出λ+μ的取值范围.【详解】由题意，第一空：第二空：展开：(1λ)2|a22|b2(1λ)2由于t2因此，λ+μ的取值范围为：[1,3].15.在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，A、B、C、D的纵坐标分别为yA、yB、yC、yD，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，以下说法正确的有.①若P与抛物线焦点重合，则yAyB=一2；②yAyB=yCyD；2③OMON=2OP；2④yA一yCOP=yB一yDOM；S(OMSS△BDP(ON,【答案】②④【解析】【分析】首先探求抛物线弦与x轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.【详解】由题意A、B、C、D为抛物线y2=2x上四个点可知，yA,yB,yC,yD两两不等.设抛物线y2=2x上任意两点，其中s≠t.--则直线ST方程为y-t=令y=0，则直线ST与x轴的交点R横坐标x0=-此时直线ST垂直于x轴，x0=-也成立，因此，直线ST与x轴的交点R横坐标x0=-①由题意直线AB交x轴于点P，若P与抛物线焦点重合，则其横坐标为，故由*式可得，即yAyB=-1≠-2，故①错误；②由题意直线AB与直线CD交x轴于点P，则由*式可得点P横坐标x0=-可得yAyB=yCyD，故②正确；③由题意直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，则由*式可得故OMON=OP2，故③错误；④由*式可得yA-yCyA-yCyB-yDB-yD当点A或C为原点时，则点P,M也重合于原点，此时yA-yCOP=yB-yDOM；当点A与C均不为原点时，即yA≠0，且yC≠0，则结合②结论可知则有yA-yCOP=yB-yDOM，故④正确；如图，当如图，当故答案为：②④三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知f=sin（1）求最小正周期；的最大值和最小值；f （2）最大值为，最小值为- 【解析】【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.【小问1详解】【小问2详解】由正弦函数性质可知，当2x+，即x=-时，函数f有最小值，即当即时，函数f有最大值max=f 所以函数f(x)的最大值为，最小值为-；【小问3详解】（1）求证：BD丄面CEF；（2）求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；（3）求三棱锥A-CEF的体积.【答案】（1）方法一：如图，过点E作EG//CC1,交AD于点G，则有AG=3GD,GD=1.连接CG,则C,C1,E,G四点共面,平面CEF即平面CC1EG.因为BD平面ABCD，所以CC1丄BD.又CC1∩CG=C,CC1,CG平面CEF，所以B方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz.又CE∩CF=C,CE,CF平面CEF，所以BD丄平面CEF.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；或由面面角的向量求法可得；（3）由向量法证明AE丄EF，从而求得△AEF的面积，由向量法求得点C到平面AEF的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥A一CEF的体积；或由向量法求得点A到平面CEF的距离，根据棱锥的体积公【小问1详解】略【小问2详解】方法一：过点E作EG//CC1,交AD于点G，则有AG=3GD，GD=1，连接CG，则C,F,E,G四点共面，平面CEF即平面CFEG.如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D一xyz，则取EF的中点P，则P所以所以异面直线AE与GP所成的角等于平面AEF与平面CEF的夹角.所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为.方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D一xyz.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则{所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为.【小问3详解】点C到平面AEF的距离为 所以三棱锥ACEF的体积为2.因为EG//CF，所以E,G到CF的距离相等，18.已知椭圆的离心率为，椭圆被直线x=b截得的线段长为.（1）求C的标准方程；（2）斜率为一的直线与圆x2+y2=b2相切，且该直线交椭圆于P(x1,y1)，Q(x2,y2)（y1<y2A是椭圆的上顶点．记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可知a=2c，b2=3c2，然后将x=b代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出m=±2·3，分类讨论即可.【小问1详解】由于a222，所以b2=3c2，22所以椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）可知，b2=3，所以圆的方程为x2+y2设直线l的方程为y=-·x+m，因为直线l与圆相切，如图所示，圆上顶点0,3，分两种情况讨论：椭A圆上顶点0,3，分两种情况讨论：①当m=2时，直线l的方程为y=-x+2，代入椭圆方程，2，所以P②当m=-2s3时，直线l的方程为y=-·i3x-2s3，代入椭圆方程+=1，55(55,当x=-2时，y=0，当x=-6时，y=-4，由于y1<y2，所以P(|55(55,2综上所述，的值为3.2（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；*k或x=bk}，记cn为En中的元素个数.（i）求c3n；n1【解析】【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；（2i）分析{an}和{bn}项的特征，结合集合En的定义即可得解ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，2所以即解得或公比不能为0，舍去【小问2详解】（i）由（1）知an为偶数，bn为奇数，所以数列{an}和{bn}没有相同项，根据题意，集合En中的元素由数列{an}和{bn}中小于等于n项组成，所以数列{an}中小于等于3n的项有个，中小于等于3n的项有n+1个，所以