河北省保定市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

1z1z2z123iz1z21iz2A．12 B．12 C．12．已知向量a1xb34x2，若a//bxD．1A． C．D． 充分不必要条 B．必要不充分条C．充要条 D．既不充分也不必要条0.6，则袋中约有红球（）A．8 B．10 C．12 D．14如图，在圆锥SOAB是底面圆OD为母线SBCABSOAB2，则直线SA与CD所成角的余弦值为（）A．

B．

C．

D．从不超过20的质数中，任选两个不同的质数p，q，记npq，则事件“n4”的概率为 A．

B．

C．

D．如图，公路一侧有一幢楼OP，公路与楼底OA的仰角为45100BP的仰角为37100米到达点CP的仰角为30，则楼OP的高为（）tan373

C．300 D． PABC的所有顶点都在球O的球面上，且VPACEFPC的中点，且∠AEFπBABCACEF2，则球O的表面积为（ B．163π

D．64x1x2x3，…x10（x1x2Lx10，则下列说法正确的是（x1070%在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则下列结论正确的是 z2z20zz zzz2zz0ZZx1 1 若OZ1OZ2z1

z1

z若z11i，且z1，z2是关于x的方程x2pxq0的两个根（p，qR，则1 z2 ACAE

ADAPAB

2的取值范围为42某企业生产A，B，C三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本，若样本中C型号的产品有12件，则n A−BCD中，BAD40，从CABAD回到点，若细绳的最短长度为 ，则该三棱锥的侧棱长 的取值范围 已知向量a与b

，a1，

2 若2abatb，求实数t求向量a

2

3100分）按50,6060,7070,8080,9090,100分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方；在VABCABC的对边分别为abc，且sinBsinCsinAsinCacA若b2VABC33 DBC上的一点，记VABD的面积为S，VACDS91 BCEBDA1E平面C1ADDAC1Cz2z1z2z11i23i12i.解析：因为向量a1xb34x2，且a//b，则3x4x2x2解析：若两个平面平行α//β，平面内任意一条直线都与另一平面无交点，因为nα，所以必有nαβ能推出nβ，必要性成立已知mnαmβnβ,若直线mn，两条平行线同时平行于平面此时平面α可以和平面β相交,故仅则n//β”是“α//β”的必要不充分条件.x

nβ

8

12个.解析：如图，连接OCOD，因为OCABOCSOSOABOABSO平面SAB，所以OC平面SABOD平面SAB，所以OCOD52又O,DABSB的中点，所以OD//SA522222

5,OD

1SA

,CD

3 5

解析：不超过20的质数有2357,11,13,17,19824的情况有6A212种，882个不同的质数有C2A2568所以，所求概率为123 则OA

OP,OB

4OP,OC 3OP

在VOAB中，由余弦定理得OA2AB2OB22ABOBcos∠ABO在△OBC中，由余弦定理得OC2BC2OB22BCOBcos∠OBC，ABBC100cos∠ABOcos∠OBC0，两式相加，得OA2OC22AB2OB2，即OP23OP221000016OP2 解得OP BABC,VPACAC的中点为M,ACBMACPMPBPBMPBACEFPCBC的中点，且AEFπ

PB,PB2EF4AEPBAEACAAEACPAC，PBPAC.设VPAC外接圆的圆心为O，半径为r易得OO1PB2，由正弦定 2r,r223 所以球OR

4所以球O的表面积为4πR264π.x10x1，A因为1070%770%x7x8，Bxx1x2x3Lx10xx2x3Lx9xx Czi,z1z2z20A zzz2zzzz0zzZZxB1

1 1

若OZ1OZ2OZ1OZ2OZ1OZ2z1z2z1z2Cz 1i2 2i由题意得，z21i，则1 1，故D错误

z2

2i解析：A：正六边形的中心为O，各边长为2，所以OAOCOE2即OAOCOE0，正确，BACAOOCOAOCAEAOOEOAOE，ACAE2OAOCOE，A知OAOCOE0，所以OCOEOA ADAOOD2OAACAE2AD3

CAPABAPABAB因为–––→的长度为2AP在–––→PBCPB移向CAPABP与点CAPACVABC是顶角为120AC23，底角BAC30 向量AC 上的投影长度

∘23 3

ACcosAPABAB3236DP和正六边形的中心O

OA

––2OAOPOP

––

2OBOPOP,

2OCOPOP,

––→2PE

2OEOPOP,

故原式

已知中心到各顶点的距离均为2，则后一项为62224，故原式

242222

PO23POPO的最大值为半径2PO

PO34 ,解析：由题意得 54

n12，得n13．则线段CC就是绳的最短长度，此时∠CAC120，由CC2AC2AC22AC·AC·1得3AC224AC22，所以该三棱锥的侧棱长为22

2，所以 ，所以

a2c2b2b2c2a2

2

22ab，整理得(a c 0所以aab，整理得(a c 0

若a2b2c20，即a2b2c2Cπ与VABC是锐角三角形矛盾，所以a2b2c200A所以abABCπ2A，由

得πAπ 0π2A sinAcosBsinCsinAcosAsin(π2A)sinAcosAsin2AsinAcosA2sinAcosA设tsinAcosA

2sin(Aπ)，2sinAcosAt2因为πAπ，所以πAπ3π，2sin(Aπ)1，所以1t 所以sinAcosBsinCtt21t1)25

2)15．(1)t(2)

（1）因为2abatb，所以2abatb0所以

→btb

02t即21212t21cos2πt2202t解得t1

→

1（2）由题意得a3a2b

2ab

212

9a129a12ab 4→91212 412 3a

13设向量a

a3a2b

13则cosθ

→ a3a即向量a16．(1)

的夹角的余弦值为13(2)

6，3，（1）PA1121PB11212 3 2 PC1PAPB1111 （2）3D，第iAi，第iBii1,2,3PDPA1A2A3PA1A2A3PB1B2B3PB1B2B311111111111111117 6

6 6

66

33 3

3 70.5（1）0.15550.20650.30750.25850.109574.5，200则样本中在60,80264.5374.570.5 18．(1)A

5 5

（ⅱ）（1）

asin

sin

sin

2RR为VABC外接圆半径所以bcacac，即b2c2a2bcb2c2 所以cosA A0πAπ（2（ⅰ）

1bcsinA1c2333，解得c3V

由余弦定理，得a2b2c22bccosA4922317，所以a7所以VABC的周长为abc 23 5（ⅱ）BD

7m，CD

7n，mn1，m，n0,1所以SVABD m，则S

V

V22

2 2

9n，所以18291 23912391mn239nm10182

9 n

9 n

9 9nm 23 109nm 当且仅当9nm，即n1，m3时等号成立，所以CD 7 a2b2 7422又在VABC中，cosC 22 77在VACD，AD2AC2CD22ACCDcosC4 22 3所以AD 3

4

19．(1)A1CAC1FFDABC−ABCAC//ACA1FA1C1111

1 DBCEBDED1EDA1FAE//FD

A1E平面C1ADFD平面C1ADA1E平面C1AD(2)4（1）DDOAC，垂足为O，过O作OMAC1，垂足为M，连接MDC1O．AA1ABCDOABCAA1DO，DOACACAA1AACAA1ACC1A1DOACC1A1．AC1ACC1A1DOAC1，又OMAC1MODOOMODO平面MODAC1平面MOD因为MD平面MODAC1MD，所以OMDDAC1CDOAB1

5，OMAOOC12AA2AC AA2AC 1DO2OM在Rt△MODMODDO2OM

31所以cosOMDOM