广东海洋大学2017-2018学年第二学期《线性代数》期末试卷（A卷）及标准答案_第1页
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文档简介

广东海洋大学2017-2018学年第二学期《线性代数》期末试卷（A卷）及标准答案考试说明：闭卷考试｜满分100分｜考试时间120分钟｜适用本科各专业一、填空题（每小题3分，共30分）1.3阶行列式012.已知向量α=(1,2,3),β=(2,4,k)，若α3.设A为3阶方阵，|A|=2，则|2A4.矩阵A=15.二次型f(x6.若向量组的秩等于向量个数，则该向量组__________（线性相关/线性无关）7.n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是r(A)__________n8.矩阵初等行变换化为行最简形109.3阶方阵A的特征值为1,2,−4，则|A|=__________10.非齐次线性方程组AX=b无解的充要条件是__________二、行列式计算题（10分）计算4阶行列式：D=三、矩阵求逆题（10分）已知矩阵A=223四、矩阵方程求解（10分）已知AX=B，其中：A=求解矩阵X。五、向量组线性相关性（10分）设向量组α1（1）t取何值时，向量组线性相关？（2）t取何值时，向量组线性无关？六、线性方程组求解（10分）求解非齐次线性方程组：x求方程组的通解（基础解系+特解）。七、方阵证明题（6分）设A,B为n阶方阵，且AB=A+B，证明：A−E可逆，并求(A−E)八、特征值与二次型（4分）已知2阶对称矩阵A特征值为1,3，求二次型xT参考答案及详细解析一、填空题答案（每题3分）1.−1解析：交换两行行列式变号，单位行列式值为1，结果为-1。2.6解析：成比例向量线性相关，123.16解析：A∗=|A|A4.−2解析：|A|=1×4−2×3=−2。5.1−36.线性无关解析：秩=向量个数，向量组线性无关。7.小于解析：n元齐次方程组有非零解充要条件r(A)<n。8.x19.−8解析：方阵行列式等于所有特征值乘积1×2×(−4)=−8。10.r二、行列式计算题（10分）解：对行列式做行变换化简：D=按第1列展开：D=−1×(−1继续按第三行展开：D=−1×(−1最终结果：D=-1三、矩阵求逆（10分）解：构造增广矩阵[A|E]，初等行变换化为[E|[A|E]=→回代化简：→→得逆矩阵：A四、矩阵方程求解（10分）解：AX=B⇒X=对增广矩阵[A|B]初等行变换：[A|B]=化简得：X五、向量组相关性（10分）解：构造向量构成的方阵：A=(|A|=（1）当|A|=0，即t=5时，向量组线性相关（2）当|A|≠0，即t≠5时，向量组线性无关六、线性方程组求解（10分）解：写出增广矩阵并化简：A同解方程组：x令自由未知量x3=k（通解：x七、证明题（6分）证明：由AB=A+B变形：AB−A−B=0⇒AB−A−B+E=E因式分解得：(A−E)(B−E)=E由可逆矩阵定义：A−E可逆，且(A八、二次型标准形（4分）解：实对称矩阵可正交对角化，二次型标准形由特征值直接写出：f试卷说明：本套试卷为广东

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