《向量的数量积》课件

8.1向量的数量积

第8章向量的数量积与三角恒等变换必修三1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系；3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题；4、掌握平面向量数量积的运算律及应用，数量积分配律的验证；5．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算；6．能运用数量积表示两个向量的夹角。计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1.向量数量积的运算律知识梳理2.向量数量积的定义知识梳理知识梳理3.向量的投影与向量数量积的几何意义知识梳理知识梳理4.向量的坐标与向量的数量积知识梳理同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题感受高考D感受高考B12345678910111213141516171819A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于(

)A.9 B.0 C.-3 D.-9D解析

由已知得p·q=3×3×cos

180°=-9.123456789101112131415161718192.[探究点三]若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=(

)B12345678910111213141516171819A.3 B.-3 C.6 D.-6A12345678910111213141516171819解析

如图,12345678910111213141516171819D123456789101112131415161718195.(多选题)[探究点二]已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有(

)A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|ABC解析

A.∵a·b=|a||b|cos

θ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos

θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos

π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作

=b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作

=b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718196.[探究点三(角度2)·2023黑龙江哈尔滨期中]已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=0,设向量a=λe1+μe2,当λ=μ=1时,<a,e1>=

;当λ+μ=4时,|a-e1|的最小值为

.

12345678910111213141516171819123456789101112131415161718197.[探究点一(角度1)]如图所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,则

的值是

.

-112345678910111213141516171819123456789101112131415161718198.[探究点三]已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.证明

(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos

120°-|b||c|cos

120°故(a-b)⊥c.123456789101112131415161718199.[探究点一(角度2)·2023山东威海检测]已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求|a+b|;(2)求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模.12345678910111213141516171819解

(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6.∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,12345678910111213141516171819A.等腰三角形

B.直角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形B级关键能力提升练A1234567891011121314151617181911.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为(

)A.1 B.2 C.3 D.5C1234567891011121314151617181912.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有(

)A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2ACD

解析

根据向量数量积的分配律知,A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181913.(多选题)已知正三角形ABC的边长为2,设,则下列结论正确的是(

)A.|a+b|=1 B.a⊥bC.(4a+b)⊥b D.a·b=-1CD

解析

由题意知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=,故A错误;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos

120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;a·b=1×2×cos

120°=-1,故D正确.1234567891011121314151617181914.已知a,b是单位向量,c=a+2b且a⊥c,则a·b=

,|c|=

.

1234567891011121314151617181915.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为-e1,则a与b的夹角θ=

.

120°1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819解

∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0,∴

.故四边形ABCD为正方形.1234567891011121314151617181917.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.(1)求|a+b|的值;(2)求a与a-2b的夹角.12345678910111213141516171819解

(1)∵|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3,∴2