广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．已知向量a=1,0，b=1,−1，若A．1 B．2 C．−1 D．−22．已知复数z满足：i+2z=1+i，则z=A．35+15i B．153．下列说法正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线D．棱台的侧棱都相等4．已知△ABC的直观图△A'B'CA．8 B．42 C．435．已知向量a=(1,−4)，b=(2,3)，则向量a在向量A．1013,15C．−2013,−6．在△ABC中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重心，则OA+A．CO B．OD C．2CO D．7．在△ABC，若acosB=bcosA，且A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形8．已知G是△ABC的重心，过点G的直线l与线段AB、AC分别交于点E、F，AE=λAB,A．3 B．22 C．3 二、多选题9．下列结论正确的是（）A．若复数z满足z=2，则B．若复数3+i与−2+4i在复平面内分别对应向量OA与OB，则向量AB对应的复数为−5+3iC．若复数z在复平面内对应的点为Z2,−1，则复数zD．若复数z满足2≤z≤3，则复数z10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A>B，则sinA>sinBB．若a:b:c=4:5:6，则△ABC是钝角三角形C．若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形D．若A=30°，b=4,a=3，则11．已知圆锥的顶点为P，底面半径为3，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（）A．圆锥的侧面积是2B．圆锥侧面展开图的圆心角是3C．△PAB面积的最大值是3D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是3三、填空题12．在△ABC中，若A=45°，B=30°，a=22，则b=13．已知两个单位向量a，b满足a+b=1，则向量2a+14．已知正三棱台ABC−A1B1C1的侧棱长为10，上、下底面的边长分别为3，四、解答题15．已知向量a→=e1→（1）试计算a⃗⋅b（2）求向量a与b夹角的余弦值．16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=a,b（1）若m//（2）若m⊥p,c=2,C=17．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P−A1B1C1D（1）若AB=6 m,PO1=2 m（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，PO（3）若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO18．在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且bcos（1）求角A的大小；（2）若b=2，S△ABC（3）若△ABC为锐角三角形，a=3，求b+c19．如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成θ0<θ<π角的两条数轴，e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下OM=ae（1）若θ=60°,OM=2e（2）若θ=60°,OA=x1e（3）设OA=3,1,OB=1,1,∠AOB=α

答案解析部分1．【答案】B【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：因为a=1,0，b=又因为ka−b则k−1×1+1×−1=k−2=0故答案为：B.【分析】利用已知条件和向量的坐标运算以及向量垂直的坐标运算，从而得出实数k的值.2．【答案】A【知识点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由i+2z=1+i可得z=故答案为：A.

【分析】先根据复数方程，利用复数的四则运算，通过分母实数化的方法求解z。3．【答案】C【知识点】棱柱的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征【解析】【解答】解：对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱，反例如图：，故A错误；对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误，反例如图：，故B错误；对于C，因为圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确；对于D，因为棱台是由平行于底面的平面截得的，则棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误.故答案为：C.【分析】根据多面体的性质和空间几何体的定义结合举反例的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.4．【答案】C【知识点】斜二测画法直观图【解析】【解答】解：△ABC的直观图△A'B'C'是直角三角形，且O'B'在△ABC中，OC=4，OA=42，则AC=OA【分析】利用斜二测画法将直观图还原，求得OA=42，再利用勾股定理求AC5．【答案】C【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量【解析】【解答】解：由向量a=(1,−4)，b=(2,3)，

可得a→则向量a在向量b上的投影向量为b⃗b⃗⋅a6．【答案】A【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算；三角形五心【解析】【解答】解：如图，连接CD，因为点O为△ABC的重心，所以，点O为CD的三等分点，且CO=2OD，则OA+故答案为：A.【分析】利用三角形的重心的性质得出点O为CD的三等分点，且CO=2OD，再利用平行四边形法则和向量共线定理，从而找出正确的选项.7．【答案】C【知识点】三角形的形状判断【解析】【解答】解：在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可得sinAcosB=cosA因为a=bsinC，所以又因为C∈0,π，所以C=π故答案为：C.【分析】利用正弦定理，结合同角三角函数商关系求得tanA=tanB，则A=B，即a=b，再由a=bsinC8．【答案】D【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理【解析】【解答】解：如图所示：

根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，可得AG→因为AE→=λAB所以AG→因为E,G,F三点共线，根据向量共线定理可得13λ+1所以2λ+8μ=1当且仅当2λμ=8μλ时，即故答案为：D.【分析】由题意，作出图形，根据重心的性质，以AB→,AC→为基向量表示AG→，再由AE⃗=λAB⃗,AF9．【答案】B,D【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义【解析】【解答】解：A、例如z=2也满足z=2B、因为OA=3,1，OB=−2,4，所以AB=C、复数z对应的点为Z2,−1，则复数z对应的点为2,1D、复数z对应的点构成的图形为圆环，它的面积为π32−2210．【答案】A,D【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断【解析】【解答】解：对于A，因为A>B，所以a>b，

由正弦定理，得sinA>sinB，故A正确；对于B，因为a:b:c=4:5:6，所以，边c最长，则角C最大，设a=4k,b=5k,c=6k，则cosC=所以，角C为锐角，则△ABC是锐角三角形，故B错误；对于C，因为sin2A=sin2B，所以2A+2B=π或2A=2B，

则A+B=π2或A=B，

所以对于D，因为A=30°,b=4,a=3，根据正弦定理，则asin又因为sinB=23>sinA=1故答案为：AD.

【分析】利用三角形中大角对大边和正弦定理，则判断出选项A；利用三角形中大角对大边，则设a=4k,b=5k,c=6k，再结合余弦定理判断出三角形的形状，则判断出选项B；利用已知条件和诱导公式，则判断出选项C；利用已知条件和正弦定理以及正弦函数的单调性，则判断出△ABC有两解，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.11．【答案】A,D【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用【解析】【解答】解：根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为O.对于A，在轴截面中，PO=1，底面半径r=3，

所以母线长l=则圆锥的侧面积是πrl=23对于B，因为圆锥母线长为2，展开图的弧长为23π，

所以，圆心角弧度为对于C，由题意可知tan∠APO=所以，圆锥轴截面的顶角为2×π3=2π3，

则当PA⊥PB对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为x0<x<3，高为h，

则x3=1−h1由二次函数的性质可知，当x=32时，S有最大值故答案为：AD.

【分析】由已知条件和圆锥侧面积公式，则可判断选项A；由圆锥的母线长和圆的弧长公式，则可判断选项B；先计算圆锥轴截面顶角，当PA⊥PB时，△PAB的面积最大，再利用三角形面积公式，则得出△PAB面积的最大值，从而判断出选项C；设圆锥内接圆柱的底面半径为x0<x<3，高为12．【答案】2【知识点】正弦定理【解析】【解答】解：在△ABC中，若A=45°，B=30°，a=22，

由正弦定理asinA=b故答案为：2.

【分析】直接利用正弦定理求解即可.13．【答案】π【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：由a+b=1，两边平方a+b则cos=2×12−124×12+12+4×−1【分析】利用向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可.14．【答案】20π【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用【解析】【解答】解：如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1,r2，

则2r1设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为d1,d则d1设正三棱台的高为h，由棱台的侧棱长为10，

得h=(所以d1+d则R2−1+解得R2=5，

所以三棱台ABC−A故答案为：20π.【分析】先利用正弦定理得出正三棱台上、下底面所在圆面的半径r1,r2，再利用勾股定理得出d115．【答案】（1）解：ab→a→a→（2）解：设〈a,b〉=θ，由【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算【解析】【分析】（1）利用向量的坐标远算，结合向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标表示求解即可；

（2）利用向量的夹角公式求解即可.（1）a∴aa（2）设〈a,b∴cos16．【答案】（1）解：因为m//n，所以又由正弦定理asinA=bsin可得bsinA−3又因为A∈0,π，所以A−π3（2）解：因为m⊥p，所以即2ab=ca+b，又因为c=2，所以a+b=ab因为C=π3，由余弦定理可得4=a2+b2−ab=a+b故S△ABC【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理、两角差的正弦公式化简求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，结合余弦定理、三角形面积公式求解即可.（1）因为m//n，所以又由正弦定理asinA=bsin可得bsinA−3又A∈0,π，所以A−π3（2）因为m⊥p，所以即2ab=ca+b，又c=2，所以a+b=ab因为C=π3，由余弦定理可得即4=ab2−3ab，解得ab=4故S△ABC17．【答案】（1）解：由PO1=2 m因为A1所以正四棱锥P−A1正四棱柱ABCD−A1B则仓库的容积V=V（2）解：如图，连接O1B1，取B1C在正四棱锥P−A1B所以PM⊥B因为PO1=2m,P所以O1则C1所以PM=36−16则S△P所以正四棱锥P−A1B正四棱柱ABCD−A1B则粉刷总费用为：325（3）解：设PO1=xm，下部分的侧面积为S 则OO所以S=4×设fx当x2=18时，即当x=32则当PO1=3【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用【解析】【分析】（1）根据已知条件可得OO1的长，再根据正四棱锥的体积公式和正四棱柱的体积公式，从而得出正四棱锥P−A（2）根据已知条件和中点的性质以及正四棱锥的结构特征求出正四棱锥P−A1B（3）设PO1=xm（1）由PO1=2 m因为A1所以正四棱锥P−A1B正四棱柱ABCD−A1B所以仓库的容积V=V（2）如图，连接O1B1，取B1C在正四棱锥P−A1B所以PM⊥B因为PO1=2m,P所以O1所以C1所以PM=36−16所以S△P所以正四棱锥P−A1B正四棱柱ABCD−A1则粉刷总费用为：325（3）设PO1=xm，下部分的侧面积为S 则OO则S=4×A设fx当x2=18，即x=32故当PO1=318．【答案】（1）解：因为bcos由正弦定理得sinBcosC因为在△ABC中，sinB+C=sin又0<A<π，所以A=π（2）解：因为A=π3，b=2，S△ABC=33由余弦定理得a=b（3）解：△ABC中，A=π3，由正弦定理bsinB=csin在△ABC中，sinC=所以b+c=2sinB+2sin因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<C=2π3−B<π2，

所以所以b+c∈3,2【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）利用三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可；（3）利用正弦定理，可得b=2sinB，c=2sinC，在△ABC中，利用两角和正弦公式以及辅助角公式表示b+c，再根据（1）因为bcos由正弦定理得sinBcosC因为在△ABC中，sinB+C=sin又0<A<π，所以A=π（2）因为A=π3，b=2，S△ABC=33由余弦定理得a=b（3）因为A=π3，结合正弦定理，得bsinB=csin在△ABC中，sinC=所以b+c=2sin因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<C=则π3<B+π所以b+c∈3,219．【答案】（1）解：因为θ=60°，所以e1,e2