2025-2026学年山东省青岛第二中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（）A.1 B.2 C.3 D.42.在的展开式中，含的系数是（）A.35 B.34 C.30 D.153.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.4.青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人C.依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001D.没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联5.甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（）A. B. C. D.6.若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（）A. B. C. D.7.我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（）A.15个 B.27个 C.28个 D.36个8.已知正实数满足和，则（）A. B.C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知，且，则（）A.B.C.D.当取最大值时，或210.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（）A.B.第5次传球后球在乙手中有11种传法C.数列为等比数列D.11.已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（）（注：若，则）A.B.在上是增函数C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于事件，则__________.13.某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌（正面为金色边线，反面为银色边线），如图所示.现给团牌的正反两面的6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为__________.14.已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）若，求.16.某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了3月至7月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：月份3月4月5月6月7月月份代码12345月销量（单位：千台）810132024（1）求出关于的经验回归方程，并估计月该款迎宾机器人的销量；（2）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元/个的补贴.已知甲､乙两所学校各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为和，若两所学校享受补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围.参考信息：b=17.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.18.已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）（1）若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望；（2）若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球.（i）求从乙箱中取出的球是白球的概率；（ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率.19.已知函数（1）若函数单调递增，求实数的取值范围：（2）若函数有3个零点；（i）求实数的取值范围；（ii）求证.数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由题意求得样本中心点，将其代入到回归直线方程即可求解.解答过程：由题意得样本中心点为，代入到回归直线方程得，解得.2.在的展开式中，含的系数是（）A.35 B.34 C.30 D.15答案：A解析：思路：分别利用二项式定理计算出原多项式中每一项展开后的系数，最后将这些系数相加求得总和.解答过程：由得，令，此时系数为，由得C4k2⋅14−由得，令，此时系数为，由得，令，此时系数为，最终含的系数是.3.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先确定函数的定义域，再求导函数，最后解出导数小于0的不等式并与定义域取交集即可得出单调递减区间.解答过程：由题意得，令，则，解得,因为，最终有.4.青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人C.依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001D.没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联答案：C解析：解答过程：对于A，在调查的高一学生中，科技类占比为0.6，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生应为人，故A错误；对于B，在调查的高二学生中，选择文艺类的人数为人，选择科技类的人数为人，选择文艺类比选择科技类的学生多人，故B错误；对于C，因为，依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001，故C正确；对于D，当时，，依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.01，故D错误.5.甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和.解答过程：设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况：甲中-乙中-甲没中-甲，概率为13甲没中-甲没中-甲中-乙：23甲没中-甲中-乙中-甲：23所以.6.若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：使用二项式展开求得有理项的个数，结合超几何分布的分布列与均值公式即可求解.解答过程：由可得，当为整数时，该项为有理项，因为且，所以当时，分别为2，0，是整数，即有理项有3项，的取值为，，，则的分布列为0123P则7.我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（）A.15个 B.27个 C.28个 D.36个答案：C解析：思路：用隔板法即可求解解答过程：法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份，其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球，首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个，再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有个安康数.法二：等价于从左到右三份分别对应且x+y若，则k+y+z8.已知正实数满足和，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可.解答过程：由，两边取对数，，即，又由，两边取对数，，即，令，因为且，则，则，由，可得在上单调递增，则，故；又由可得，则，故.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知，且，则（）A.B.C.D.当取最大值时，或2答案：ABD解析：解答过程：，，选项A正确.，选项B正确.，，选项C错误.，，或时，取得最大值，D选项正确.10.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（）A.B.第5次传球后球在乙手中有11种传法C.数列为等比数列D.答案：ABD解析：思路：通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解解答过程：由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为，，所以为等比数列，C错误；为首项是，公比是的等比数列，，故A正确；前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率，∴传到乙手中共有11种传法，B正确；，显然，，D正确.11.已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（）（注：若，则）A.B.在上是增函数C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称答案：ACD解析：思路：对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解.解答过程：对于A，，所以A正确；对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小，在上是减函数，B错误；对于，根据对称性，将替换为，即，图象关于直线对称，所以C正确；对于D，，根据对称性得，因此，即。关于（）对称，D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于事件，则__________.答案：解析：思路：先利用条件概率和事件的概率算出，再根据两个事件并集的概率公式和的值即可求出，解答过程：已知PB=35,又因为PA∪B得PA13.某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌（正面为金色边线，反面为银色边线），如图所示.现给团牌的正反两面的6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为__________.答案：18解析：思路：先分类讨论使用两种或三种颜色，结合分类加法与分步乘法计数原理依次讨论即可.解答过程：不妨将图象从上到下分为三个区域，第一种情况：使用两种颜色，此时一、三区域同色，3种颜色选1种，二区域从剩下2种颜色中选一种，即正面有种涂法，因为同一区域的两面不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，所以对应反面仅一种涂法，所以该种情况有种涂法，第二种情况：使用三种颜色，正面有种涂法，反面全错排共2种涂色方法；所以该种情况有种涂法，所以总共种.14.已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________.答案：解析：思路：求得，得到，由，得到，且，求得，得到，代入计算，即可求解.解答过程：由函数，可得，因为为的极值点，可得，又因为且，所以，令函数，可得，所以在上单调递增，所以，则，又因为，所以，所以，因为，所以代入可得.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）若，求.答案：（1）8（2）0解析：思路：（1）利用排列数和组合数的展开公式将原等式化简为一元二次方程，结合定义域即可求解；（2）用赋值法，分别令求出所有项的系数之和，令求出常数项，两者相减即可求解.（1）由题意得,,且，且，所以有，整理得，解得或（舍），（2）令，得；令，得a1+⋯+a16.某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了3月至7月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：月份3月4月5月6月7月月份代码12345月销量（单位：千台）810132024（1）求出关于的经验回归方程，并估计月该款迎宾机器人的销量；（2）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元/个的补贴.已知甲､乙两所学校各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为和，若两所学校享受补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围.参考信息：b=答案：（1），千台（2）解析：思路：（1）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到月对应的值，代入可得月该款迎宾机器人的销量；（2）利用概率的加法和乘法公式算出各种情况的概率，计算得到期望的表达式，根据约束条件得到的范围.（1）因为，y=15所以b^所以，故经验回归方程为，月对应的值为，当时，千台，故可估计月该款迎宾机器人的月销量为千台；（2）解法一：设甲､乙两学校购买迎宾机器人的个数之和为，则的所有可能取值为，PX=0=1−p所以EX依题意有4p−1×2000≤3000，且，得，故的取值范围为.解法二：设甲学校购买迎宾机器人的个数为，乙学校购买迎宾机器人的个数为，则PX=0=1−PY=0=2−3EX所以EX+Y=4p−1.依题意有4p−1×2000≤300017.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过对原函数求导得出切点处的斜率，结合切点坐标，利用点斜式直接写出切线方程；（2）法一（构造函数法）：构造两函数之差的新函数，通过求导并分类讨论找出该新函数在给定区间上的最小值，令其最小值大于等于零来求解参数的取值范围；法二（分离参数法）：排除端点值后，将参数单独分离到不等式一侧，从而将“恒成立”问题转化为求不含参新函数在指定区间上的最小值问题。（1）的定义域为，所以，所以切线方程为，即.（2）法一：令，则，设，则在上恒正，所以在上单调递增，.①当时，，所以在上单调递增，即恒成立，所以此情况满足题意；②当时，，，当时，，故，因此，且在上单调递增，所以使得，即，有.所以在上单调递减，在上单调递增，，解得，因为，所以，，则，所以在单调递增，所以，综上所述，的取值范围为.法二：①当时，，对任意实数恒成立；②当时，.不妨令，则令，解得或.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.综上，的取值范围为.18.已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）（1）若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望；（2）若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球.（i）求从乙箱中取出的球是白球的概率；（ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率.答案：（1）012；（2）（i）（ii）解析：思路：（1）通过超几何分布求出取到不