2025-2026学年山东烟台市芝罘区高二下册期中学业水平诊断数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.（）A.45 B.165 C.330 D.79202.已知离散型随机变量的期望，则（）A.2 B.3 C.5 D.73.某班40名同学报名参加8个社团活动，每位同学只能参加其中1个社团，且每个社团招收人数不限，则这40位同学可能的报名结果种数为（）A. B. C. D.4.已知，则（）A.0 B.1 C. D.5.关于的一组样本数据，，，，若由这组样本数据得到的经验回归方程为，则的值为（）A.30 B.31 C.32 D.336.某单位在周一到周五的五天中安排4人值夜班，每天安排1人，每人值夜班至少1次，至多2次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为（）A.96 B.108 C.144 D.2887.设，是同一概率空间中的随机事件，满足，，PBA=14，则（）A. B. C. D.8.设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.若服从标准正态分布，则B.若，则越小，正态密度曲线越“瘦高”C.若，且，则D.若，且，则10.连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（）A.与相互独立 B.与相互独立C.与相互独立 D.与相互独立11.某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（）A.甲同学积分为3分的概率为B.甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为C.甲同学积分的数学期望为4D.四名同学积分总和的方差为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为______（用数字作答）.13.的展开式中的系数为______.14.一个正八面体骰子，八个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，7，8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.设事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件的个数为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表：年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁4060超过45岁30合计100（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联；（2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率.参考公式：，其中.16.某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示：机器编号12345678故障率1.2%1.8%0.7%0.9%2.5%2.2%1.5%0.8%（1）从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率；（2）从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望；（3）以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率.17.电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示：第个月123456充电桩建成数量（千个）0.91.73.255.35.5根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合.（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好；（2）根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量.参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：，，令，，，；令，，，.18.已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒.（1）完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率；（2）若已连续完成2次“双向置换”.（ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望；（ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率.19.一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，其中获得30元的基础抵扣券的概率为，获得10元的基础抵扣券的概率为，且须继续参加第二轮活动；否则，不获得基础抵扣券，活动结束.若顾客成功通过第二轮活动，则可获得20元的进阶抵扣券.两种抵扣券可叠加使用购买该商品，且每位顾客只能参加一次竞猜活动.已知该商品每件的售价为150元，原进货成本为78元，商场承担所有抵扣券金额的50%，其余的由商品生产商承担.（1）若顾客成功通过第一轮活动的概率为，成功通过第二轮活动的概率为，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；（2）设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为，且顾客甲至多购买一件该商品.假设顾客甲成功通过两轮活动后使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望（单位：元）为；顾客甲未成功通过第二轮活动使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望为.若，求的取值范围.定义：毛利润期望=顾客购买概率×（顾客实际支付金额的期望-原进货成本-商场承担的抵扣券成本的期望）

数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.（）A.45 B.165 C.330 D.7920答案：C解析：思路：根据组合数的性质化简即可求值.解答过程：C102.已知离散型随机变量的期望，则（）A.2 B.3 C.5 D.7答案：B解析：解答过程：因为，则E2X3.某班40名同学报名参加8个社团活动，每位同学只能参加其中1个社团，且每个社团招收人数不限，则这40位同学可能的报名结果种数为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由分步乘法原理计算可得解答过程：由题意可得每位同学有8种选择，根据乘法原理，共有8404.已知，则（）A.0 B.1 C. D.答案：A解析：解答过程：令，则，即，令，则，即，所以.5.关于的一组样本数据，，，，若由这组样本数据得到的经验回归方程为，则的值为（）A.30 B.31 C.32 D.33答案：A解析：解答过程：已知样本数据，12,26，14,m，15,35，则x=9+12+14+154则82+m4=2×6.某单位在周一到周五的五天中安排4人值夜班，每天安排1人，每人值夜班至少1次，至多2次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为（）A.96 B.108 C.144 D.288答案：C解析：思路：依题意，先选出值两天班的人，再选值不相邻的2天，剩下3人各值1天利用分步乘法计数原理即可求得答案．解答过程：五天安排人，每人至少次、至多次，因此总值班次数满足，即恰好有人值次班，其余人各值次班.选值次班的人，共种选法；从天中选个不相邻的天给这个人，总选法为C52−4=10−4=6剩余天安排剩余人，每人天，全排列共种排法.总安排种数.7.设，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件概率以及全概率公式求解即可.解答过程：因为满足，所以PA=因为，PBA所以PAB由全概率公式得P(P(8.设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据依次迭代计算求解.解答过程：当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.若服从标准正态分布，则B.若，则越小，正态密度曲线越“瘦高”C.若，且，则D.若，且，则答案：ABD解析：思路：根据正态分布的曲线以及性质求解即可.解答过程：选项A.标准正态分布为X∼N(0,1)选项B.正态分布X∼N(选项C.X∼N(2,σ2)，对称轴为根据对称性P(X≤0)=选项D.X∼N(1,若P(X≤a)=10.连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（）A.与相互独立 B.与相互独立C.与相互独立 D.与相互独立答案：AC解析：思路：根据相互独立事件的定义判断可得；解答过程：根据题意得，P(A)=P(C)=选项A.P(AB)=1×336选项B.P(AC)=选项C.P(AD)=336选项D.P(CD)=11.某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（）A.甲同学积分为3分的概率为B.甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为C.甲同学积分的数学期望为4D.四名同学积分总和的方差为答案：BCD解析：思路：分析出甲积3分的情况，再求出概率即可.分析出甲胜2局且乙胜2局的情况，再分析概率即可.根据期望的公式以及线性性求解选项C.根据方差公式求解选项D.解答过程：四人单循环赛，每名选手共进行3局比赛，总共有局比赛，每局胜得3分、平得1分、负得0分，每局胜/平/负概率均为​，各局独立.选项A.甲积3分有两种情况：1胜2负或3局全平.则概率为，A错误.选项B.甲胜2局且乙胜2局，分三种情况.甲胜乙：甲需要在丙丁中再胜1场，乙需要胜丙丁两场，概率为13乙胜甲：乙需要在丙丁中再胜1场，甲需要胜丙丁两场，概率为.甲乙平局，概率为1总概率P=选项C.甲每局得分的期望为：，甲共3局，由期望的线性性：E(选项D.设每局总得分​，总积分S=k故D(S)=6D(E(X1)=2⋅1因此D(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为______（用数字作答）.答案：10解析：解答过程：个位为，剩余千位、百位、十位从三个数字全排列，共个；个位为，不能在千位，因此千位只能从1,3中选个，共种选择，剩余百位、十位从剩下的个数字全排列，共种排列，因此这类共个.两类相加，总个数为.13.的展开式中的系数为______.答案：32解析：解答过程：的展开式的通项为.令，得，展开式中的系数为，令，得，展开式中的系数为，令，得，展开式中的系数为.则的展开式中的系数为.14.一个正八面体骰子，八个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，7，8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.设事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件的个数为______.答案：8解析：思路：计算出，根据条件得到，，故，其中，，则或.当时，，，，分为，和，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案.解答过程：事件，事件，故.又，故，即.因为，，所以，故，即.又，，故，所以.即，所以，故.其中，，则或.若，则，又，故，，故.若，，可令或或或；若，，可令或或或；事件，事件，若，则，此时，此时，故，不合要求，舍去，综上，满足条件的事件的个数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表：年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁4060超过45岁30合计100（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联；（2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率.参考公式：，其中.答案：（1）列联表见解析，认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联．（2）解析：思路：（1）通过列联表数据补全表格，再利用卡方检验公式计算统计量，通过与临界值对比，判断出“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄存在显著关联，核心是卡方独立性检验的步骤应用．（2）以调查频率估计概率，先分别算出不同年龄段员工喜欢使用OpenClaw的概率，再利用对立事件的概率公式，求出两人中至少有1人喜欢使用的概率，关键是对立事件思想的运用．（1）根据卡方检验公式，代入：年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁402060超过45岁103040合计5050100，由于，故拒绝原假设，认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联．（2）设从不超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为，从超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为，则两人中至少有1人喜欢使用的概率为：．16.某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示：机器编号12345678故障率1.2%1.8%0.7%0.9%2.5%2.2%1.5%0.8%（1）从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率；（2）从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望；（3）以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率.答案：（1）（2）分布列0123期望为（3）解析：（1）8台机器中，故障率小于2%的机器有6台：．（2）故障率小于2%的机器共6台，其中故障率小于1%的有3台，的可能取值为，P(X=0)=C3P(X=2)=的分布列为：0123数学期望：（3）设为抽取的5台中故障率小于2%的台数，则Y～BP(17.电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示：第个月123456充电桩建成数量（千个）0.91.73.255.35.5根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合.（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好；（2）根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量.参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：，，令，，，；令，，，.答案：（1）y=（2）经验回归方程为y^解析：思路：（1）分别计算两个模型的相关系数，再进行比较即可.（2）首先计算均值，求出经验回归方程，再代入计算即可.（1）对于模型，令，代入公式得r1=i对于模型y=pln⁡x因为∣r2∣（2）y=0.9+1.7+3.2+5+5.3+5.56根据最小二乘估计p=i=1因此关于的经验回归方程为y=2.8ln⁡当时，代入ln⁡8≈2.1得y=2.8×2.1+0.52=6.4因此预测到第8个月时，全市充电桩建成数量为千个.18.已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒.（1）完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率；（2）若已连续完成2次“双向置换”.（ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望；（ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率.答案：（1）（2）（i）分布列见解析，；（ii）327613解析：思路：（1）根据甲盒中白球不变，分析出从甲拿出白（黑）球，再从乙拿回白（黑）球，进而求出概率.（2）（i）分析2次“双向置换”之后乙盒的白球个数，再求出相应的概率得到分布列，再求出数学期望.（ii）根据条件概率求解即可.（1）甲盒白球数不变，分两种情况：①从甲拿出白球，再从乙拿回白球：概率P1​②从甲拿出黑球，再从乙拿回黑球：概率P2故所求概率P=（2）（i）总白球数为，次操作后乙盒白球数的可能取值为，其概率为P(Y=1)=35设两次操作后乙盒中白球个数为，的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=P(X=2)=P(分布列如下：