2026年湖南省常德市数学人教A版高一下学期期末考试自编试卷（含答案解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省常德市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，是虚数单位，若，则（

）A． B． C． D．3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．4．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（

）A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交5．“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（

）A． B．△ABC周长为C．△ABC周长为 D．圆形木板的半径为6．若外接圆的半径为，且，则（

）A．2 B． C．3 D．7．若均是单位向量，且，则（

）A． B．7 C． D．68．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．已知，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则中至少有一个为0C．D．若，则10．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．下列结论正确的是（

）A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大11．函数为奇函数，函数（

）A．实数的值的值为2B．函数为上的单调递增函数C．不等式的解集为D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．化简：______．13．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______．14．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知向量，(1)求；(2)若，求实数的值．16．如图，在正方体中，求证：（1）平面；（2）与平面的交点H是的重心.17．2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求该样本的第80百分位数；(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在和内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率.18．如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度.19．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.(1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.题号12345678910答案BBDDBAABBCDACD题号11答案BCD1．B【分析】应用集合的交运算求结果即可.【详解】因为集合，，所以．故选：B2．B【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解.【详解】∵，∴，∴，∴，∴.故选：B.3．D【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得，所以.故选：D.4．D【分析】根据线线之间的位置关系分析即可.【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行，若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交.故选：D.5．B【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可.【详解】对于D：由题意可得：圆形木板的直径，即半径，故D错误；对于A：由正弦定理，可得，故A错误；对于B、C：由题意可得：，解得，因为，则，可知为锐角，可得，余弦定理，即，解得，所以△ABC周长为，故B正确，C错误；故选：B.6．A【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解.【详解】根据正弦定理，，即，又，则，又，所以，则，根据同角基本关系式，，则，根据正弦定理，即，在中，由余弦定理,所以，所以.故选：A7．A【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解.【详解】由向量均是单位向量，且，则，所以.故选：A.8．B【分析】将三棱锥补全成为长方体，那么长方体的外接球即是三棱锥的外接球，然后根据长方体的外接球半径为体对角线的一半求得半径，最后根据球的表面积公式求得结果.【详解】将三棱锥补全成为长方体，那么该三棱锥的外接球也是长方体的外接球，则外接球半径为.那么三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.9．BCD【分析】举反例即可求解A，根据模长的性质即可求解BC，根据模长公式，即可求解D.【详解】对于A,若，满足，但，故A错误，对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确，对于C，，C正确，对于D，设，,故，故，，故D正确，故选：BCD10．ACD【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，B地月降雨量按升序排列可得：，对于选项A：可知A地月平均降雨量为，B地月平均降雨量为，因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确；对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为，因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误；对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为，因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确；对于选项D：因为，可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40，且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确；故选：ACD.11．BCD【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】对于A，对任意的，，所以，的定义域为且函数为奇函数，所以，则，因为，所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误；对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下：对任意的、且，则，由可得，故函数为上的增函数，故B正确；对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，所以由可得，根据B项，可得，可得，即，因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确；对于D，因为函数，显然，所以有可得，则，则，因为，令，当时，，设，所以，，于是当时，，对，总，使得成立，故函数的值域为函数在上的值域的子集，即，所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确.故选：BCD.12．【分析】根据三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】.故答案为：.13．/0.95【分析】方法一：设出事件，根据进行求解；方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，则，，所以目标至少被击中1次的概率；方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，则，，，，所以目标没有被击中的概率为，目标至少被击中1次的概率为故答案为：.14．【分析】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】由得，，由余弦定理得，，所以的面积为，故答案为：．15．(1)(2)【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长；(2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可.【详解】（1），；（2），，因为，所以，即.16．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心.【详解】（1）如图所示，连接，则，平面，，又，平面，平面，平面.平面.，同理，，平面.（2）连接，由，得，因此点H为的外心，又为正三角形，∴点H也是的重心.【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理应用线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.17．(1)84分(2)71分(3)【分析】（1）应用百分位数的求法求样本的第80百分位数；（2）根据直方图平均数的求法求平均分；（3）应用分层抽样等比例性质确定各组抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】（1）由图知，则该样本的第80百分位数在区间内，设为，所以，可得分；（2）由，可得，所以样本平均分分；（3）由（2）及题设，6名同学分别来自和有2名、4名，设的2名为，的4名为，所以任意抽取2人的基本事件有，共15种，其中两组各抽一名有，共8种，所以所求概率为.18．(1)证明：四边形是边长为2的正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面；(2)(3)【分析】（1）利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，可理可证，进而可证结论；（2）过作于，连接，可得为二面角的平面角，求解即可；（3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接，可证点M的运动轨迹为一个半圆，据此求解即可.【详解】（1）略（2）过作于，连接，由（1）可知平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，，所以，又，所以，解得，在中，，所以，所以二面角的余弦值为；（3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接，则，又因为平面；平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所