2025-2026学年山西现代双语学校学校等校高二下册5月期中考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（）A.18 B.9 C.8 D.72.已知随机变量的分布列为1234则（）A. B. C. D.3.若随机变量，且，则（）A.0.8 B.0.6 C.0.3 D.0.24.某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（）A.1440 B.2160 C.4320 D.57605.小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（）A.0.16 B.0.32 C.0.64 D.0.966.网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据：x12345y2.53.34.56.28.5则x与y的样本相关系数（）参考公式：，参考数据：i=15yA.0.99 B.0.98 C.0.97 D.0.967.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（）A. B. C. D.8.的展开式中的常数项为（）A.61 B.29 C.309 D.308二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（）A.直线的斜率是负数B.变量与变量正相关C.相关系数D.若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大10.已知，则（）A.B.C.D.11.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（）A.6维“立方体”的顶点有36个 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则实数________.13.已知随机变量，随机变量，则________.14.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．16.如图，在四面体中，平面分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示：种制造工艺种制造工艺合计合格450不合格30合计500500（1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．19.已知函数.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）当时，求证：.

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（）A.18 B.9 C.8 D.7答案：C解析：思路：根据分类加法计数原理即可求解.解答过程：由分类加法计数原理，得不同的选法种数为.故选：C2.已知随机变量的分布列为1234则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由随机变量分布列的性质知，解得.3.若随机变量，且，则（）A.0.8 B.0.6 C.0.3 D.0.2答案：B解析：解答过程：因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是，所以，所以.4.某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（）A.1440 B.2160 C.4320 D.5760答案：C解析：解答过程：将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况.则不同的排法总数共有种.5.小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（）A.0.16 B.0.32 C.0.64 D.0.96答案：D解析：思路：结合对立事件及独立事件的乘法公式计算即可.解答过程：这两粒种子至少有1粒发芽的概率为．6.网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据：x12345y2.53.34.56.28.5则x与y的样本相关系数（）参考公式：，参考数据：，．A.0.99 B.0.98 C.0.97 D.0.96答案：B解析：思路：代入相关系数公式求解即可.解答过程：由题意，得，，，，所以．7.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用条件概率公式求解即可解答过程：事件表示甲乙两人都不去A景点，，事件表示甲乙两人都去A景点，，所以．8.的展开式中的常数项为（）A.61 B.29 C.309 D.308答案：C解析：解答过程：的展开式中的常数项为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（）A.直线的斜率是负数B.变量与变量正相关C.相关系数D.若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大答案：AC解析：思路：根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解.解答过程：对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误；对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误.故选：AC.10.已知，则（）A.B.C.D.答案：BC解析：思路：A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求.解答过程：令，得，故A错误；令，得，故B正确；令，得，故C正确；将与这两式的左右两边分别相加，得，解得，故D错误.故选：BC.11.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（）A.6维“立方体”的顶点有36个 B.C. D.答案：BCD解析：思路：应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可.解答过程：对于6维坐标，其中，即有2种选择，故共有种选择，即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误；当时，在与中有3个坐标值不同，即有3个满足，有3个满足，所以满足的顶点有组，，故B正确；满足的顶点有组，所以，即，，所以，故C正确；而，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则实数________.答案：或解析：思路：根据组合数的性质得解.解答过程：由组合数的性质得或，所以或方法提示：本题考查组合数的性质，属于基础题.13.已知随机变量，随机变量，则________.答案：解析：思路：利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算.解答过程：因为，所以，故.故答案为.14.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法．答案：8400解析：思路：先按人数拆分7名同学为4组（满足每组至少1人），再将分好的4组对应分配到4个不同项目中，最后汇总所有分组情况的方法数即可.解答过程：先将7名同学分成四组，有1，1，1，4；1，1，2，3和1，2，2，2这三种情况，当分组为1，1，1，4时，不同的参加方法有；当分组为1，1，2，3时，不同的参加方法有；当分组为1，2，2，2时，不同的参加方法有．综上所述，满足题意的不同的参加方法有种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．答案：（1）（2）最小值解析：思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值.（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以．（2）因为是等差数列，所以．因为，所以当时，有最小值.16.如图，在四面体中，平面分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）.解析：思路：（1）由和线面平行判定定理即可证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用即可计算求解.（1）证明：因为分别为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.（2）因为，所以，即.因为平面平面，所以，故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量，则即不妨设，则，所以.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示：种制造工艺种制造工艺合计合格450不合格30合计500500（1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）

种制造工艺种制造工艺

合计合格470450920不合格305080合计5005001000认为产品是否合格与制造工艺有关．（2）．0123解析：思路：（1）零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，计算出，结合小概率值的独立性检验判断即可.（2）根据分层抽样确定的取值，求出对应的概率，结合分布列及期望计算即可.（1）2×2列联表如下：

种制造工艺种制造工艺合计合格470450920不合格305080合计5005001000零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关．（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，其中种制造工艺有（件），种制造工艺有（件）．由题意，得X的取值可以是0，1，2，3，则，，，．所以的分布列为：0123所以．18.已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）．（1）求的方程；（2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程；（3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程．答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程；（2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可.（1）设的半焦距为，由题意可知：，且，即，因