2025-2026学年山东邹城市高一下册期中教学质量检测数学试题 含答案

/数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.2.已知a=3,1,b=A. B. C.1 D.73.如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（）A.6 B.12 C.14 D.244.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.e1→=C.e1→=5.已知分别为三个内角的对边，若满足的三角形有两个，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.在中，点分别为边的中点，若，则（）A. B.C. D.7.已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形8.一个圆台的上､下底面半径分别为，且，圆台轴截面为底角是的等腰梯形.若该圆台内有一个球，当球的体积最大时，球的表面积与圆台的侧面积比值为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知下列说法正确的是（）A.棱台的侧面都是等腰梯形B.圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的C.一个棱锥至少有4个平面围成D.以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台10.下列说法正确的是（）A.B.复数的虚部为C.若为复数，则为实数D.若z+3+4i=111.如图，正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的取值范围D.的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则__________.13.已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________.14.已知点均位于单位圆上，弦长，点为弦的中点，当点在圆上运动时，则向量的最大值为__________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围；（2）若是纯虚数，求的模.16.已知两个单位向量与的夹角为，设向量m=2e1−（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值.17.如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）.（1）求该正四棱锥的表面积与体积；（2）求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值.18.已知分别为三个内角的对边，且.（1）若，求；（2）若，求周长；（3）若为等边三角形，点为边上一点，且为边的中点，与交于点，求.19.已知为落实乡村振兴基础设施提质增效专项工作部署，某县农业农村局对辖区连片平坦农用地块开展集散路网科学规划，拟设置三处农产品冷链集散岗亭，三处岗亭俯视落点构成（如图），岗亭间物资转运距离均按地表直线距离统一核算.经实地测绘发现，为结合惠民工程实施要求，规划从岗亭出发，沿的角平分线修建专用中转便民通道，中转节点设置在主干连通道路上，且中转通道的长度为两处岗亭间距离的倍.（1）若中转节点到岗亭的距离为，求两处岗亭之间主干连通道路的长度；（2）求实数的取值范围；（3）若规划地块的面积为1平方千米，当为何值时，岗亭间距离最短？

数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：解：．2.已知，若，则（）A. B. C.1 D.7答案：C解析：思路：先根据向量垂直的性质列出数量积为0的等式，再按照数量积的坐标运算展开、化简，得到一元一次方程，最后解出参数的值即可.解答过程：因为a=(3,1)，b=(1−2λ所以a→所以3−6λ所以.3.如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（）A.6 B.12 C.14 D.24答案：B解析：解答过程：由斜二测画法得的直观图如图所示：，，所以.4.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C.e1→=答案：D解析：思路：先明确判断标准，再利用“向量共线的坐标判定公式”逐一分析选项即可.解答过程：A选项：e1=(2,1)，2×1B选项：e1=(−2,6)，(−2)×(−3)−6×1=6−6=0，两向量共线，不能作为基底，B错误；C选项：e1=(0,0)，零向量与任意向量共线，不能作为基底，C错误；D选项：e1=(3,2)，3×3−2×5=9−10=−1≠0，两向量不共线，可以作为基底，D正确.5.已知分别为三个内角的对边，若满足的三角形有两个，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.解答过程：在中，，由有两解，得，即，解得，故的取值范围为.6.在中，点分别为边的中点，若，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：，，故，，点分别为边的中点，，，故B正确．7.已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形答案：D解析：思路：使用正弦定理或余弦定理化简b−解答过程：方法一：由于b−根据正弦定理可得，sinB即,,化简，得,所以，，或,而为三角形内角，所以，,或所以，的形状为直角三角形或等腰三角形.方法二：b根据余弦定理可得，b化简，得，即所以，,或所以，的形状为直角三角形或等腰三角形.8.一个圆台的上､下底面半径分别为，且，圆台轴截面为底角是的等腰梯形.若该圆台内有一个球，当球的体积最大时，球的表面积与圆台的侧面积比值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：圆台内体积最大的球，对应于轴截面内面积最大的圆。设圆台的轴截面为等腰梯形，把问题转化为“等腰梯形内最大圆”的问题。先由已知条件求出圆台的高和母线长，再设球心在轴上，比较球心到底面、上底和腰的距离，求出最大半径，最后计算面积比。解答过程：设则圆台轴截面的上、下底分别为因为轴截面为底角是的等腰梯形，所以每条腰与下底所成角为，上下底之差的一半为故圆台的高为母线长为于是圆台的侧面积为下面求圆台内最大球的半径，在轴截面中建立坐标系，使下底所在直线为，对称轴为轴，则右腰经过点，且斜率为，故其方程可写为设最大圆的圆心为，半径为，则圆心到底边的距离为，圆心到上底的距离为圆心到右腰的距离为因此先考虑与的大小，当时，半径随增大而增大，当时，半径受腰限制而减小，所以最大值在时取得，解得即于是最大半径为再考虑此时的最大半径与的关系，当时，说明最大球与下底及侧切，不与上底相切，故球的表面积为所求比值为二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知下列说法正确的是（）A.棱台的侧面都是等腰梯形B.圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的C.一个棱锥至少有4个平面围成D.以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台答案：BC解析：解答过程：正棱台的侧面是等腰梯形，普通棱台的侧面是一般梯形，故A错误；由圆柱母线的定义可知，所有母线都相互平行，故B正确；三棱锥的平面数最少，有4个面，故一个棱锥至少有4个平面围成，故C正确；以直角梯形的直角边所在直线为旋转轴的旋转体才是圆台，若以斜边所在直线为旋转轴的旋转体不是圆台，故D错误．10.下列说法正确的是（）A.B.复数的虚部为C.若为复数，则为实数D.若z+3+4i=1答案：BCD解析：思路：根据复数的概念及运算可判断ABC，对于D，利用复数的几何意义可得复数在复平面对应的点到的距离为1，则的最大值为6．解答过程：解：虚数单位不能比较大小，故A错误；复数的虚部为，故B正确；设，则，，故C正确；z+3+4i=1，则复数在复平面对应的点到的距离为1，又原点到的距离为，则点到原点距离的最大值为，则的最大值为6，故D正确．11.如图，正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的取值范围D.的最大值为答案：ABD解析：思路：对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，根据向量数量积的定义，易知当点在线段上时，取得最大值，当点在线段上时，取得最小值，求出最值即可判断；对于D，设中点为，由极化恒等式得，则当在点或点时，取得最大，据此计算出最值即可．解答过程：解：对于A，根据题意，，则，故A正确；对于B，连接交于，由题知，则，由对称性可知，若为中点，则，，则，，故B正确；对于C，过点作直线的垂线，垂足为，易知正八边形内角，因此，易知当点在线段上时，，，取得最大值，当点在线段上时，取得最小值，故C错误；对于D，设中点为，，记，则AB2=a所以AF由图可知，当在点或点时，取得最大，此时PQ所以的最大值为，故D正确．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则__________.答案：解析：解答过程：因为，所以，解得.13.已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________.答案：2解析：解答过程：因为外接球的体积为，设外接球半径为，可得，解得.如图所示，正三棱锥的外接球，以及底面外接圆圆心，可知，在中，，可得，在中，可知，即622=化简得，因为，解得.14.已知点均位于单位圆上，弦长，点为弦的中点，当点在圆上运动时，则向量的最大值为__________．答案：解析：思路：由已知条件结合勾股定理得出的垂直关系，建立坐标系，求出相关点坐标，进而表示向量数量积，结合正弦函数的性质求出最大值．解答过程：已知点均位于单位圆上，则，，由可得，，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立坐标系，则，设点，已知点为弦的中点，则，，，，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围；（2）若是纯虚数，求的模.答案：（1）（2）1+m思路：（1）利用“第一象限”对应实部、虚部都大于；（2）利用“纯虚数”对应实部为且虚部不为，先求出，再代入模的运算公式即可.（1）因为在复平面内对应的点位于第一象限，所以2m由2m2−7又此时从而2m−3m−2（2）因为是纯虚数，所以且解方程得2m−3所以又因为纯虚数的虚部不能为，故所以因此于是1+m其中1+31−i所以1+m16.已知两个单位向量与的夹角为，设向量m=2e1−（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）向量平行，利用对应基底系数成比例求解参数.（2）利用向量夹角公式求解参数.（1）解：因为，则基底为与，若，则由对应基底系数成比例可得，，解得．（2）因为单位向量与的夹角为，则e1而m=n=则m⋅所以cosm即15−4λ2=7化简得，且，解得．17.如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）.（1）求该正四棱锥的表面积与体积；（2）求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值.答案：（1），（2），解析：思路：（1）根据正四棱锥的特点求表面积与体积即可；（2）设正四棱柱底面边长为，高为，利用相似可得，再由正四棱柱侧面积S=4xy求最值即可．（1）如图，，，则该正四棱锥的表面积为=4×4+4×1体积；（2）根据在棱锥中平行于底面的截面与底似，所以四边形为正方形，设正四棱柱底面边长为，高为，，即，，正四棱柱侧面积S=4则当时，正四棱柱侧面积的最大值为，此时．18.已知分别为三个内角的对边，且.（1）若，求；（2）若，求周长；（3）若为等边三角形，点为边上一点，且为边的中点，与交于点，求.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用余弦定理，建立方程组求解；（2）由正弦定理求出，再根据正弦定理求即可得到周长；（3）以中点为原点建立平面直角坐标系，再利用平面向量夹角的坐标表示求解．（1）由余弦定理得，即；又因为，所以，代入上式得：，即，解得，联立a+c=12（2）由正弦定理及已知，得，因为，所以，因为，所以，即，在中，，由正弦定理得，C=πc=b所以的周长为；（3）由(1)知为边长为6的等边三角形，以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则E0,0因为在上且，由定比分点公式得，AE=cos．19.已知为落实乡村振兴基础设施提质增效专项工作部署，某县农业农村局对辖区连片平坦农用地块开展集散路网科学规划，拟设置三处农产品冷链集散岗亭，三处岗亭俯视落点构成（如图），岗亭间物资转运距离均按地表直线距离统一核算.经实地测绘发现，为结合惠民工程实施要求，规划从岗亭出发，沿的角平分线修建专用中转便民通道，中转节点设置在主干连通道路上，且中转通道的长度为两处岗亭间距离的倍.（1）若中转节点