2025-2026学年山西汾阳中学校高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学考试时间120分钟，满分150分.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中i是虚数单位）的实部是（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则m等于（）A. B.4 C. D.3.对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（）A. B. C. D.4.“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知a，b是两条异面直线，，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交6.在中，若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形C.等腰直角三角形 D.不含的直角三角形7.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（）A. B.0 C. D.8.在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角的余弦值为 D.向量在上的投影向量为10.已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（）．A.若，则在复平面内对应的点位于第一象限B.复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆C.的最大值为3D.若的实部与虚部互为相反数，则11.在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（）A.B.过点的平面截该长方体，所得截面周长为C.以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为D.三棱锥外接球的体积是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，，，，则________.13.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径，满足，且圆台的侧面积为，则__________.14.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知平面内三个向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若a→+k16.在中，角，，的对边分别为，，，若，，.（1）求边；（2）求的面积.17.如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P．（1）用和分别表示和；（2）如果，求实数和的值；（3）在（2）的条件下，确定点P在边上的位置．18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．（1）求角A和边a；（2）求的取值范围．19.复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则：①②，③④复向量的模已知为虚数单位，，，，，．（1）求复向量，的模；（2）证明：若，，则；（3）对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

数学考试时间120分钟，满分150分.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中i是虚数单位）的实部是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的除法求出，进而求出其实部.解答过程：复数，所以的实部为.故选：C2.已知向量，若，则m等于（）A. B.4 C. D.答案：C解析：思路：根据题意，得到，结合，列出方程，即可求解.解答过程：由向量，可得，因为，可得，解得.故选：C.3.对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用共线定理即可求解.解答过程：由题意知.若与共线，则存在实数使得，因为向量，不共线，所以解得，故的值为.故选：C4.“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解.解答过程：若“”则“且”成立，即充分性成立；反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立，故“”是“且”的充分不必要条件，故选：A.5.已知a，b是两条异面直线，，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交答案：C解析：思路：根据空间直线的位置关系进行判断即可．解答过程：、是两条异面直线，，与可能相交，可能是异面直线，不可能平行，若，，，与，是异面直线矛盾，故选：C．6.在中，若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形C.等腰直角三角形 D.不含的直角三角形答案：B解析：思路：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论.解答过程：由和正弦定理，可得，因，代入上式，化简得：，即，故得或，当时，，所以，此时是直角三角形；当时，，又，，则或（舍去），此时为等腰三角形.综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形.故选：B.7.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（）A. B.0 C. D.答案：C解析：思路：根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.解答过程：设，当与重合时，；当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时，，所以，当与重合时，，所以，以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，根据正八边形的性质可知，，则，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，当在线段（除）上运动时，设，所以，当在线段上运动时，设，所以，当在线段（除）上运动时，设，所以.综上所述，的最小值为.故选：C8.在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.解答过程：如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，取棱的中点，连接，作，垂足为.由题中数据可得，设四棱锥外接球的半径为，则，即，解得.由题意易证，则，故.故所求截面圆的面积是.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量与的夹角的余弦值为 D.向量在上的投影向量为答案：AD解析：思路：利用向量坐标运算求出的坐标，再利用向量坐标运算逐项判断.解答过程：依题意，，对于A，，因此，A正确；对于B，，因此，B错误；对于C，，C错误；对于D，，向量在上的投影向量为，D正确.故选：AD10.已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（）．A.若，则在复平面内对应的点位于第一象限B.复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆C.的最大值为3D.若的实部与虚部互为相反数，则答案：BCD解析：思路：根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可.解答过程：因为时，复数，所以在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误；因为复数满足，所以复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，B正确；当复数的点位于时，取最大值为3，C正确；由于，若的实部与虚部互为相反数，则，即，D正确.11.在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（）A.B.过点的平面截该长方体，所得截面周长为C.以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为D.三棱锥外接球的体积是答案：ABD解析：解答过程：设，在直角中，根据勾股定理得，在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确，延长相交于点，连接交于点，则截面周长为，在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得，，又底面是边长为4的正方形，则，故截面周长为，故B正确，点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆，圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误，在中，，则的外接圆半径，显然平面，因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为，则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，，，，则________.答案：2解析：解答过程：由余弦定理，，，，所以c2解得.13.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径，满足，且圆台的侧面积为，则__________.答案：2解析：思路：根据圆台的侧面积公式计算．解答过程：由题意，解得．故2．方法提示：本题考查圆台的侧面积公式，属于基础题．14.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米.答案：27.5##解析：思路：在中，利用正弦定理求出，在根据计算即可得出结果.解答过程：因为在点处测得解放碑的基座中心点位于北偏东方向，在点处测得位于北偏西方向，、、在同一水平面上，所以，，所以.由正弦定理可得：，米，，.所以米.在中，，根据正切函数，所以米.故27.5四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知平面内三个向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求实数的值；答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可；（2）求出a→+k（1）因，又，，，即1,3=，解得；（2）因为a+kc又a+∴1×1+2k=−316.在中，角，，的对边分别为，，，若，，.（1）求边；（2）求的面积.答案：（1）或（2）或解析：思路：（1）根据余弦定理求解即可.（2）根据三角形面积公式求解即可.（1）由余弦定理得，整理得，解得.所以边的值为或.（2）当时，；当时，.所以的面积为或.17.如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P．（1）用和分别表示和；（2）如果，求实数和的值；（3）在（2）的条件下，确定点P在边上的位置．答案：（1），．（2）.（3）P为线段上靠近点C的三等分点．解析：思路：（1）利用向量减法的三角形法则求解；（2）根据已知将用进行表示，的方程组计算得到的值；（3）设，．将用进行表示，得到的方程组，计算出的值，从而得到点P为线段上靠近点C的三等分点．（1），．（2）由（1）知，，，，，不共线，，解得.（3）设，．由（2）知，，．又，，，不共线，，解得.，即．∴点P为线段上靠近点C的三等分点．18.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．（1）求角A和边a；（2）求的取值范围．答案：（1），1（2）解析：思路：（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边；（2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围.（1）由和正弦定理可得，化简得，即因，则，即，因，故．又由且，可得．（2）由正弦定理，，可得，，则，（*）因，将其代入（*），可得：．因，则，故，则的取值范围是．19.复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则：①②，③④复向量的模已知为虚数单位，，，，，．（1）求复向量，的模；（2）证明：若，，则；（3）对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出