2025-2026学年山西怀仁大地高中学校等部分学校高一下册4月期中数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）．A. B. C. D.2.已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（）．A. B. C. D.3.已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是（）A.若上有无数个点不在内，则B.若，则与内的任意一条直线都没有公共点C.若，则平行于内的任意一条直线D.若，且，则4.设复数，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知的三个顶点分别为，，，则是（）．A.的直角三角形 B.的直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形6.在中，，，交于点，设，，则（）A.， B.，C.， D.，7.若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（）．A.2 B.3 C.4 D.58.在中，，，且的面积为，则（）．A.3 B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.10.下列关于复数，的说法正确的是（）．A.若，则为实数或纯虚数 B.若，则C.若，则 D.11.在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（）．A.当增大时，四棱锥的体积逐渐增大B.若，则三棱锥的体积为C.若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为D.若，则三棱锥的内切球半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为______．13.已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______．14.如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．（1）求实数m的取值范围；（2）已知O为坐标原点，若m为整数，且z，在复平面内对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标．16.已知，为不共线的单位向量，，．（1）若且，求，的夹角的余弦值；（2）若，的夹角为，且，求实数的值．17.某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3）（1）求该灯塔主体结构的体积；（2）已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A．（2）已知AD平分且交BC于点D，．（ⅰ）若，求a；（ⅱ）求周长的最小值．19.如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．（1）若，向量与垂直，求实数a的值；（2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值；（3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）．A. B. C. D.答案：C解析：解答过程.2.已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（）．A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，得，则与同方向的单位向量为.3.已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是（）A.若上有无数个点不在内，则B.若，则与内的任意一条直线都没有公共点C.若，则平行于内的任意一条直线D.若，且，则答案：B解析：解答过程：对于A选项，若上有无数个点不在内，则或与相交，A错；对于B选项，若，则直线与平面没有公共点，因为平面内的任意一条直线上的所有点都在平面内，所以与内的任意一条直线一定没有公共点，B对；对于C选项，若，则与内的任意一条直线平行或异面，C错；对于D选项，若，且，则或，D错.4.设复数，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：当时，，.“”是“”的充分条件.，即，整理得，，不能推导出.“”是“”的不必要条件.综上，“”是“”的充分不必要条件.5.已知的三个顶点分别为，，，则是（）．A.的直角三角形 B.的直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形答案：B解析：解答过程：，，，，，；，，；，即；是的直角三角形.6.在中，，，交于点，设，，则（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：利用平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可.解答过程：如下图所示：因为，，即，故，所以，又因为，即，故，因为、不共线，所以，解得.7.若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（）．A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：思路：先求出的外接圆半径，然后在中，利用勾股定理求出，最后求出.解答过程：如图所示，作出的外接圆圆心，连接.中，，由正弦定理可得，.又，..8.在中，，，且的面积为，则（）．A.3 B. C. D.答案：D解析：思路：延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案.解答过程：如图，延长到，使得，由，可得，即，所以，因为，所以，即，得，由勾股定理可得，则，在中，，则，在中，由余弦定理得，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.答案：ACD解析：解答过程：对于A，若，则与的夹角为或.因为cos0=1,cosπ=−1对于B，当时，不一定成立，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确．10.下列关于复数，的说法正确的是（）．A.若，则为实数或纯虚数 B.若，则C.若，则 D.答案：AD解析：解答过程：设，（），选项A：计算得，若，则虚部，即或；若，则；若，则，当时为纯虚数，当时，故为实数或纯虚数，正确；选项B：举反例：，，，但，错误；选项C：举反例：，，，但，错误；选项D：.，的共轭分别为，，两者相乘得：，正确.11.在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（）．A.当增大时，四棱锥的体积逐渐增大B.若，则三棱锥的体积为C.若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为D.若，则三棱锥的内切球半径为答案：BCD解析：思路：对A，表示出四棱锥的体积，结合正弦函数的性质判断；对B，由结合选项A求解判断；对C，由题可得，将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，运算得解；对D，由分割体积，运算得解.解答过程：对于A，由题可知，，当增大时，的值先增大后减小，所以四棱锥的体积先增大后减小，故A错误；对于B，当时，，故B正确；对于C，若四棱锥有外接球，即菱形有外接圆，则，将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，可得其外接球的半径，所以其外接球的表面积为，故C正确；对于D，若，设三棱锥的内切球半径为，则，所以，解得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为______．答案：解析：解答过程：画出正方形的直观图如下图所示：由斜二测画法可知该正方形的直观图是平行四边形，其中，作，垂足为点又因为，所以,所以平行四边形的面积为.13.已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______．答案：解析：解答过程：设该圆锥的高为，母线为,依题意可得，解得，所以圆锥的母线长为，因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为；设对应圆心角的弧度数为，则，因此.14.如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______．答案：解析：思路：可先通过面积倍数关系推导各线段长度比例，再借助坐标法对向量进行线性分解，求解系数后计算的值.解答过程：设小等边三角形的边长为，由，设，则.∵，且，∴，即.由中间小等边三角形性质，，∴.∵，∴化简得，解得正根，即，.在中由余弦定理得，解得.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图：得各点坐标：，，.在中，由正弦定理，得；由余弦定理得.又，则，，因此点坐标为，∴.则，所以，解得，，因此.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．（1）求实数m的取值范围；（2）已知O为坐标原点，若m为整数，且z，在复平面内对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数与复平面内点的对应关系，以及第四象限点的性质，列出不等式组，求出参数范围即可；（2）根据参数范围内的整数，求出复数z，，写出点的坐标，根据投影向量的坐标公式，求出结果即可.（1）复数在复平面内对应的点为，可得，解得，所以实数m的取值范围为.（2）由（1）可知，当m为整数时，，则，，所以，可得，则向量在向量上的投影向量为.16.已知，为不共线的单位向量，，．（1）若且，求，的夹角的余弦值；（2）若，的夹角为，且，求实数的值．答案：（1）（2）或.解析：思路：（1）利用向量垂直的数量积为零，求出，的夹角的余弦值即可；（2）利用的模长，以及向量的夹角为列出关于的方程求解即可.（1）则则,则,则,则.（2）,,,,,,解得：当时，，成立，当时，成立，或.17.某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3）（1）求该灯塔主体结构的体积；（2）已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？答案：（1）（2）景区预算够用解析：思路：（1）利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解；（2）根据题意计算物料费和人工施工费，进而求解.（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为，则，所以，所以圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以该灯塔主体结构的体积为；（2）由（1）得：主体结构材料费为(元)，又外部的表面积为，所以外部装饰涂料费为（元），所以总物料费为：（元），所以人工施工费为（元），所以总的费用为：（元），即总的费用为：万元万元，所以景区预算够用.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A．（2）已知AD平分且交BC于点D，．（ⅰ）若，求a；（ⅱ）求周长的最小值．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；（2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解；（ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值.（1）因为，所以，即，所以，因为，所以；（2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：，因为AD平分，所以，因为，所以，将代入上式得，解得，，由余弦定理得，解得.（ⅱ）由，得，将代入上式得，即，即，则，当且仅当时，等号成立，则的最小值为8；由余弦定理得，，令，则，因为，当时，的最小值为，则的最小值为，所以周长的最小值为.19.如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．（1）若，向量与垂直，求实数a的值；（2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值；（3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值．答案：（1）（