2025-2026学年山西晋城市部分学校高一下册4月期中联考数学试题 含答案

/数学（满分:150分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，则（）A. B. C. D.2.设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（

）A.， B.，C.， D.，3.设复数是关于的方程的一个根，则（）A.20 B.15 C.10 D.84.已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（）A.若，，则B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面C.若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面5.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（）A.13 B.14 C.20 D.25二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.六条棱长均相等的四面体是正四面体C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥D.长方体是直四棱柱，也是正四棱柱10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的表面积之比为11.对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则符合条件的有两个B.若点为的重心，则C.若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心D.已知是内一点，若分别表示的面积，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______.13.中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______．14.已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求在上的解集．16.已知复数，其中．（1）若z是实数，求实数m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围；（3）若z是纯虚数，求的模．17.已知向量，满足，，且，的夹角为．（1）求；（2）求在上的投影向量；（用表示）（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．18.在中，角，，的对边分别是，，，．（1）求；（2）若是边的中点，且，求面积的最大值．19.如图所示，在中，，，，，．（1）用表示；（2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若O是内一点，且满足（），求的最小值．

数学（满分:150分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以．2.设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（

）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：解答过程：，是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线.对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立.所以与不共线，所以A能作为基底；对于B，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立.所以与不共线，所以能作为基底；对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确；对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立，所以与不共线，能作为基底.3.设复数是关于的方程的一个根，则（）A.20 B.15 C.10 D.8答案：A解析：解答过程：由复数是关于的方程的一个根，得复数是该方程的另一个根，则，所以.4.已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（）A.若，，则B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面C.若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面答案：D解析：解答过程：对于A，由平行的传递性知A正确；对于B，如图①，在正方体中，当，时，与相交；当，时，；当，时，与异面；所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确；对于C，若a，b分别在两个相交平面内，如图所示，可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确；对于D，如图①，在正方体中，与相交，与异面，此时与平行；与相交，与异面，此时与相交；与相交，与异面，此时与异面；所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误.5.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题可得：，，，故.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：函数中，，解得，函数的定义域为，由，得函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BC；当时，，排除选项D，选项A符合要求，故选A.7.已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以．因为在上恰有3个零点，所以，解得．8.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（）A.13 B.14 C.20 D.25答案：D解析：思路：根据向量的线性运算、向量数量积的运算及三角形外接圆的性质求解即可.解答过程：因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，，所以.取边中点，连接，则，所以.所以.同理可得，.所以.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.六条棱长均相等的四面体是正四面体C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥D.长方体是直四棱柱，也是正四棱柱答案：BC解析：思路：依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据正四棱柱的定义判断选项D.解答过程：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确；一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确；当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱，若长方体相对面没有正方形时，则不是正四棱柱，D错误.10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的表面积之比为答案：CD解析：思路：根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断.解答过程：由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的母线长，则侧面积为，B错误；球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；圆柱的表面积为，圆锥的表面积为，所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确．故选：CD11.对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则符合条件的有两个B.若点为的重心，则C.若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心D.已知是内一点，若分别表示的面积，则答案：BCD解析：思路：对于A，根据正弦定理求得，再结合即可判定；对于B，根据重心为中线交点判断即可；对于C，根据判断；对于D，设的中点分别为，进而得，再结合面积公式判断.解答过程：对于A，由正弦定理可知，即，解得，又，所以，故A只有一解，所以三角形一解，故A错误；对于B，因为点为的重心，设中点为，则，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确；对于D，因为，所以，设的中点分别为，如图，则，即，所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______.答案：##解析：思路：根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解.解答过程：如图所示：取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点，因为，所以在直角三角形中，，故正四棱台的高为，根据棱台体积计算公式，.13.中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______．答案：##解析：思路：利用等面积列出方程求解即得.解答过程：依题意，设，,由,可得，，解得:.故答案为.14.已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．答案：4解析：思路：利用复数的几何意义进行求解.解答过程：复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上，而表示圆上的点到定点的距离，圆心到定点距离为：所以（是虚数单位）的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求在上的解集．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合倍角公式和辅助角公式化简解析式，由正弦函数周期性求最小正周期；（2）结合（1），根据正弦函数单调性和“整体法”解三角不等式即可.（1）因为，所以最小正周期.（2）由得：，因为，所以.则，解得，解得所以在上的解集是16.已知复数，其中．（1）若z是实数，求实数m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围；（3）若z是纯虚数，求的模．答案：（1）或．（2）（3）解析：思路：（1）根据虚部等于0解方程即可；（2）根据实部小于0，虚部大于0解不等式即可；（3）根据实部等于0，虚部不等于0求得，再求对应复数的模即可.（1）解：因为是实数，所以，z的虚部为0，即，解得或．（2）解：因为z对应的点在第二象限，则实部小于0，虚部大于0，即：，解第一个不等式得，解第二个不等式得或，取交集得．所以实数m的取值范围为（3）解：因为z是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0，即：，解得，此时，所以．17.已知向量，满足，，且，的夹角为．（1）求；（2）求在上的投影向量；（用表示）（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解；（2）利用投影向量的计算公式计算求解；（3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围（1）已知，，且，的夹角为，，．（2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为，，，投影向量为．（3）已知向量与向量的夹角为钝角，，且与不反向共线；则，即，解得；若两向量反向共线，则存在实数，使得，，即，将代入，得到，由，解得，与不反向共线，，综上可得，实数的取值范围是．18.在中，角，，的对边分别是，，，．（1）求；（2）若是边的中点，且，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正余弦定理求解即可.（2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可.（1）因为，所以，即．由余弦定理可得，则，所以．因为，所以．（2）因为D是边的中点，所以，所以，即．因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，则的面积，即当时，的面积取得最大值．19.如图所示，在中，，，，，．（1）用表示；（2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在