2025-2026学年陕西宝鸡市斗鸡中学高二下册期中质量检测题数学试题 含答案

/数学考试时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈A. B. C. D.2.复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.4.已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.5.已知，且，则（）A. B. C. D.6.某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，且员工必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有（）A.18种 B.24种 C.36种 D.60种7.设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数fx=sinA. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，且，则下列说法正确的有（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为410.如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（）A.平面ABC B.C.平面 D.PQ与MN相交11.已知则下列结论正确的是（）A.B.展开式中含项的系数为C.D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若，不等式恒成立，则实数的最小值是___________．13.甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为_____.14.已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的值域．16.已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.（1）求n的值与展开式中各项的系数和；（2）求展开式中二项式系数最大的项.17.已知．（1）若，求函数在区间的最大值和最小值；（2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围．18.“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分；（3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差．19.如图，四棱锥中，底面ABCD，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．

数学考试时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为集合A=因为集合，所以.2.复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：利用复数的除法法则计算出复数z即可判断在第几象限.解答过程：因为，故，故z对应的点为，在第一象限.故选：A3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：借助导数运算法则逐项计算即可得.解答过程：对A：，故A错误；对B：，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D错误.4.已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，解得，即，因为，，所以在方向上的投影向量的坐标为.5.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由余弦的倍角公式，结合条件，可得，再由三角函数的同角关系和商数关系，即可求解.解答过程：因为，解得或，又，则，所以，则．6.某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，且员工必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有（）A.18种 B.24种 C.36种 D.60种答案：C解析：思路：按和两类情况分组讨论即可.解答过程：情况1：按分组，在3人组中

，需要从剩下3人中选1人，和组成3人组，剩余2人各自成组，选法有种；再将3个组全排列分配到3个不同部门，排列数为，此种情况共种方案，情况2：按分组，在2人组中，再从剩下3人中选1人单独成组，剩余2人组成另一个2人组，选法有种；再将3个组全排列分配到3个不同部门，排列数为，此种情况共种方案，两种情况相加，总方案数为种，则不同的分配方案共有36种.7.设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意求得，结合函数在区间恰有三个最值点、两个零点，得出不等式，即可求解.解答过程：由函数，其中，可得，因为函数在区间恰有三个最值点、两个零点，由图象如图，由图可知，，解得，所以的取值范围为.8.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可.解答过程：由题意可得函数的定义域为，f′x=因为，，当且仅当，即时等号成立，因为，所以恒成立，函数在上单调递增，又f−x=则不等式f6−x2所以不等式f6−x2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，且，则下列说法正确的有（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为4答案：AC解析：思路：选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可.解答过程：选项A，，，，，，当且仅当，即时，等号成立；故ab的最大值为，故选项A正确；选项B，，，当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为，故选项B错误；选项C，设，则，，，，，，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为，故选项C正确；选项D，，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故选项D错误.故选：AC.10.如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（）A.平面ABC B.C.平面 D.PQ与MN相交答案：ACD解析：思路：对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断.解答过程：对于A，取的中点D，连接，.在中，P，D分别为，中点，，且.在直三棱柱中，，.Q为棱的中点，，且.，.四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，平面，A正确，对于B，因为为的中点，若，则，连接，为的中点，则，又平面，所以平面，平面，所以，设，，则，，所以，，与矛盾，所以不成立，B错误，对于C，在直三棱柱中，平面.又平面，.，D为中点，.由选项A的推理知，，.又，平面，平面，所以平面，C正确；对于D，因为为的中点，四边形为矩形，所以点为的中点，又为的中点，所以，且，又分别为的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确.11.已知则下列结论正确的是（）A.B.展开式中含项的系数为C.D.答案：AC解析：思路：根据二项式展开式的通项公式，结合赋值法来求解各项系数.解答过程：已知，令，则，即，选项A正确；展开式的通项公式为，（其中），要求的系数，令，解得，当时，，所以展开式中含项的系数为，选项B错误；令，可得，即①，令，可得，即②．①＋②得：，则，选项C正确；对两边求导，可得，令，则，即，又因为，所以，选项D错误.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若，不等式恒成立，则实数的最小值是___________．答案：解析：思路：利用导数求出函数的最大值即可.解答过程：由，得，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，而，，故当时，，而，不等式恒成立，故，即实数的最小值是.13.甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为_____.答案：##0.125解析：思路：恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章，由此即可求解.解答过程：根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章，则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局，所以所求概率为.14.已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______．答案：解析：思路：根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可.解答过程：情况1:，则，所以方程即为，解得，不符合；情况2:，则，所以方程即为，所以，两边平方得，值域为；情况3:，当

时，由于

，则

，则，所以方程即为，解得，不符合；情况4:，不可能，因.综上，a的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的值域．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据正弦函数的性质和图象求出的最小正周期和单调增区间；（2）利用正弦函数的性质求在区间内的值域．（1）由题可知，即的最小正周期为，令，解得，的单调递增区间．（2）令，则，由可得：，由在的图象可得：，的值域为．16.已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.（1）求n的值与展开式中各项的系数和；（2）求展开式中二项式系数最大的项.答案：（1）6,1；（2）.解析：思路：（1）利用组合数性质求，赋值法求系数和；（2）根据组合数性质确定二项式最大项，结合通项公式可得.（1）由题知，，由组合数性质可知，；令得展开式中各项的系数和为（2）因为，所以展开式共有7项，由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，所以.17.已知．（1）若，求函数在区间的最大值和最小值；（2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围．答案：（1）最大值为，最小值为（2）解析：思路：（1）求导后可得函数单调性，利用函数单调性计算即可得解；（2）由题意可得有3个不同的实根，令，求导后可得该函数单调性，利用函数单调性计算即可得解.（1）当时，fx=−，则当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故当时，fxmax由f0=−0故；（2）由方程有3个不同的实根，则方程有3个不同的实根，令，则g′x则当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减，又g−1=−1故实数的取值范围为.18.“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分；（3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，求解即可；（2）应用百分位数的定