2025-2026学年四川成都市天府新区师大一中高级中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列中，，则（）A.10 B.8 C.6 D.42.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.43.等比数列中，，，则（）A.4 B.5 C.6 D.74.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.5.已知数列的前项和公式为，则（）A.10 B.12 C.14 D.166.已知定义在上的函数满足，则必有（）A. B. C. D.7.已知数列满足，则数列的前10项和为（）A.58 B.52 C.62 D.608.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图是导函数的图像，下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若是等比数列，且，则C.若是等差数列，则D.若，则是等比数列11.如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（

）A. B.是等差数列C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在数列中，，其前n项和为，则＝______13.函数在上是增函数，则的取值范围是______．14.在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，在及处取得极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.16.记等差数列的前n项和为，已知，且．（1）求和；（2）设，求数列的前n项和．17.在直三棱柱中，分别为线段，的中点.（1）证明：平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值.（3）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知数列的首项为，且满足（1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．19.已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：；（3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列中，，则（）A.10 B.8 C.6 D.4答案：A解析：思路：利用等差数列的性质求解即可.解答过程：在等差数列中，，则，即，故选：A2.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：根据导数的定义求解即可.解答过程：根据题意，，则.故选：D3.等比数列中，，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：A解析：解答过程：因为为等比数列，所以，解得或，因为等比数列，所以，则，所以，设公比为，则，所以．4.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间.解答过程：因为函数，求导得，令，因此，函数的单调减区间是，故A正确.5.已知数列的前项和公式为，则（）A.10 B.12 C.14 D.16答案：B解析：解答过程：．6.已知定义在上的函数满足，则必有（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：构造辅助函数，用导数构造函数判断单调性，比较大小.解答过程：观察已知条件，构造，定义域为，，由题知，即，因此在上单调递增，由单调性得，则，化简得.7.已知数列满足，则数列的前10项和为（）A.58 B.52 C.62 D.60答案：B解析：思路：先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和.解答过程：因为，，令，得，因为，所以当时，；当时，.所以，记数列的前项和为，则.故选：B8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意.解答过程：由函数，可得，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以至多一个零点，不符合题意，当时，，可得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以时，取得极小值，也是最小值，又函数有两个零点，所以，即，解得，当时，，当时，，当时，，设，则，所以单调递增，则，所以，所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点，所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图是导函数的图像，下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值答案：ABD解析：思路：由图像与性质关系可得答案.解答过程：对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确；对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确；对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误；对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确．故选：ABD10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若是等比数列，且，则C.若是等差数列，则D.若，则是等比数列答案：ACD解析：思路：利用等差数列和等比数列的定义和性质逐项判定即可求解.解答过程：对于A，当时，，所以，当时，，又，所以，所以是等差数列，故A正确；对于B，若是等比数列，且，所以，故B错误；对于C，若是等差数列，所以，故C正确；对于D，若，所以，所以是等比数列，故D正确；故选：ACD.11.如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（

）A. B.是等差数列C. D.答案：ABC解析：思路：设点，根据抛物线定义列方程可判断A；根据两圆外切可得的关系，然后可证是等差数列，可判断B；根据是等差数列求出可判断C；利用裂项相消法求和可判断D.解答过程：由题意可知：焦点，设点，则的半径为，则，解得，故A正确；因为与外切，则，整理可得，且，可得，即，可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确；则，即，则，C正确；因为，所以，所以，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在数列中，，其前n项和为，则＝______答案：解析：解答过程：由可得数列为等比数列，公比为，首项为,所以13.函数在上是增函数，则的取值范围是______．答案：解析：思路：根据条件得在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解.解答过程：因为，则，由题知在上恒成立，所以，解得，所以的取值范围是.14.在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则_____.答案：3377解析：思路：由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可．解答过程：由，，，所以，解得，同理由，，，所以所以数列是以3为周期的数列，所以，故3377.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，在及处取得极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.答案：（1）（2）在上的最大值为，最小值为.解析：思路：（1）求出函数的导数，根据极值点得导数零点，结合韦达定理可求；（2）根据（1）的结果得到在上的单调性，从而可得最值.（1），因为在及处取得极值，故有两个解及，故，故，此时，当或时，；当时，，故在及处取得极值，符合题设，故.（2）由（1）可得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，，，.故在上的最大值为，最小值为.16.记等差数列的前n项和为，已知，且．（1）求和；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用等差数列性质及前项和公式列式求出公差及即可.（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可.（1）设的公差为，则，解得，由，得，解得，所以，.（2）由（1）得，所以.17.在直三棱柱中，分别为线段，的中点.（1）证明：平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值.（3）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）.解析：思路：（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面；（2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值；（3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值.（1）由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，已知分别为线段，的中点，则，所以.易得为平面的一个法向量.因为，所以，又平面，所以平面.（2）由（1）知，所以，所以，则异面直线与所成角的余弦值为.（3）设平面的一个法向量为，由（1）（2）知，则，令，得.又平面的一个法向量为，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.18.已知数列的首项为，且满足（1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．答案：（1）证明见解析，（2）解析：思路：（1）根据递推式进行变形，利用等差数列的定义证明即可；（2）利用裂项相消法即可求解.（1）因为，故，所以，即，所以数列是以首项为，公差为4的等差数列，可得，所以；（2）由（1）可知：，令，则，则，所以.19.已知函数，.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：；（3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）求导，根据导数的几何意义计算求解；（2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证；（3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可.（1）当时，，，则切线斜率，，所以切线方程为，即，（2）当时，只需证明，，当时，，，此