2025-2026学年四川成都市新都一中北星中学校高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（）A. B.C. D.2.已知函数，则的值为（）A. B.C. D.3.下列求导正确的是（）A. B.C. D.4.等差数列的前n项和为，且，，则（）A.90 B.100 C.110 D.2005.已知函数，则函数（）A.既有极大值也有极小值 B.有极大值无极小值C.有极小值无极大值 D.有2个零点6.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.18 B.19 C.20 D.217.已知函数在处取得极大值，则（

）A.3或1 B.3 C.2 D.18.已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（）A.若，则数列是递增数列 B.若，则数列是递减数列C.若，则数列是递增数列 D.若，则数列是递增数列二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（

）A.在上单调递减B.是的极小值点C.是的极大值点D.曲线在处的切线斜率为210.如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（）A. B.C. D.11.记为数列的前项和，已知，，则（）A. B.取最小值时C.是等差数列 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记为等比数列的前项和，且，，则__________.13.已知函数有两个零点，则的取值范围是_________.14.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，，试根据提示探究：若，则_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数为实常数）．（1）若，求证：在上是增函数；（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；16.如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.已知数列满足，数列的前项和满足.（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和18.设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）若F1①当时，求△F1②求的取值范围.19.已知函数．（1）当时，讨论的图象与直线的交点个数；（2）对任意的，恒成立，求的值；（3）证明：，．

数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：当时，，可知D错误，当时，，可得A、C错误，经检验B满足数列的通项公式.2.已知函数，则的值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先根据导数求得f′解答过程：由题意知，所以f′3所以lim△3.下列求导正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可.解答过程：因为是常数，所以，所以A错误；因为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D错误.4.等差数列的前n项和为，且，，则（）A.90 B.100 C.110 D.200答案：B解析：思路：设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可.解答过程：设首项为，公差为，因为，所以，因为，所以，联立方程组可得，解得，则由等差数列求和公式得，故B正确.5.已知函数，则函数（）A.既有极大值也有极小值 B.有极大值无极小值C.有极小值无极大值 D.有2个零点答案：B解析：思路：对函数求导判断其单调性，进而判断是否有极值，最后通过比较函数最值与0的大小，结合函数的单调性，判断零点个数.解答过程：函数，定义域为，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.当时，，故此时有极大值，无极小值.故选项和错误，选项正确.结合函数的单调性，是函数的最大值，若，即时，函数有2个零点；若，即时，函数有1个零点；若，即时，函数没有零点.故选项错误.故选：6.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.18 B.19 C.20 D.21答案：A解析：思路：利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解.解答过程：因为是等差数列的前项和，所以成等差数列.所以，即.7.已知函数在处取得极大值，则（

）A.3或1 B.3 C.2 D.1答案：B解析：思路：根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定.解答过程：因为函数，定义域为R，所以，又因为在处取得极大值，所以，所以或，若，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以在处取得极小值，不符合题意，所以；若，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减.所以在处取得极大值，符合题意.综上，.8.已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（）A.若，则数列是递增数列 B.若，则数列是递减数列C.若，则数列是递增数列 D.若，则数列是递增数列答案：D解析：思路：先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可.解答过程：由等比数列，则公比，对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误.对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误.对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误.对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（

）A.在上单调递减B.是的极小值点C.是的极大值点D.曲线在处的切线斜率为2答案：CD解析：思路：根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误．解答过程：由导函数的图像可知，时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，则在上单调递增，故A错误，不是的极小值点，故B错误，是的极大值点，故C正确，由导函数的图像可知，所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确．故选：CD．10.如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据已知图形结合等比数列的知识逐项计算即得.解答过程：因为，A选项正确；依题意，，所以是首项为1，公比为3的等比数列，所以，，C选项正确；，B选项错误；，D选项正确；故选：ACD.11.记为数列的前项和，已知，，则（）A. B.取最小值时C.是等差数列 D.答案：CD解析：思路：利用条件等式可计算A，由等差数列的定义先证明为等差数列，求出后结合二次函数的性质可判定B，由的关系得出结合等差数列的定义可判定C，由裂项相消法可判定D.解答过程：对于A，由，可得，即，故A错误；对于B，条件变形有，所以是以为首项为公差的等差数列，则，所以，由二次函数的对称性可知或时取最小值，故B错误；对于C，由作差得，而，符合上式，所以，即是等差数列，公差为，故C正确；对于D，由上可知，所以，故D正确.故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记为等比数列的前项和，且，，则__________.答案：解析：解答过程：设数列的公比为，因为，所以，又，所以，，所以，所以.13.已知函数有两个零点，则的取值范围是_________.答案：解析：思路：将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解.解答过程：，令，求导得，而，所以在上单调递增，在上单调递减，而当时，，当时，，且有极大值，所以若函数有两个零点，则的取值范围是.故答案为.14.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，，试根据提示探究：若，则_____________.答案：1012解析：思路：首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解.解答过程：由，则，则，，因为，由等比数列的性质可知，，，，……，所以上式.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数为实常数）．（1）若，求证：在上是增函数；（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；答案：（1）证明见解析（2）当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为．解析：思路：（1）利用导数大于零即可证明；（2）利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值.（1）由题可知函数的定义域，因为，所以，所以，，所以在上是增函数．（2）因为，所以，所以，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为．16.如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）解析：思路：（1）根据面面垂直性质定理证明平面，进而，再根据即可证明平面，最后结合线面垂直证明结论；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.（1）因为，所以为中点，因为侧面是正三角形，所以，因为底面是正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以（2）根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，则，因为，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，故可取，设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为17.已知数列满足，数列的前项和满足.（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和答案：（1）（2）解析：思路：由，构造新的等比数列求解即可；已知与的关系，分，检验求解即可；利用错位相减法求和即可.（1）由有：,所以数列是以2为公比，首项为的等比数列，所以，即因为，当时，.当时，由有：，所以，，即所以所以（2）由（1）知，所以——①，——②，由①-②得：所以18.设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）若，①当时，求的面积；②求的取值范围.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程；（2）①设，，由余弦定理得，根据公式求的面积；②设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围.（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率是，同理，直线的斜率是，由已知，有，化简，得点的轨迹方程是，点的轨迹是除去，两点的椭圆；（2）①由（1）知椭圆的焦点，其中，设，，，，在中，当时，由余弦定理得：，；②设，则，即，，，，，，，，∴P即的取值范围为.19.已知函数．（1）当时，讨论的图象与直线的交点个数；（2）对任意的，恒成立，求的值；（3）证明：，．答案：（1）答案见解析（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）先求出函数的定义域，再求导得函数的单调区间，由函数的单调区间求出函数的最大值，画出函数的大致图像即可得出交点个数.（2）构造函数，原不等式等价于，求，对分类讨论即可.（3）由（2）得，时，，化简，再利