2025-2026学年四川达州高级中学等校高一下册期中学情检测A2数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=3+2iA. B. C. D.2.在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（）A. B. C. D.3.下列说法正确的是（）A.若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等B.若，，则C.若向量，是共线向量，则点，，，必在同一条直线上D.若为的垂心，则4.已知复数是关于的方程的一个复数根，则（）A. B. C.4 D.85.某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则的取值范围是（）A. B.C. D.7.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最大值是 B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称 D.在上单调递增10.已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，且，，则的值可能是（）A.3 B.4 C. D.511.在中，，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.13.为打造“熊猫竹海”生态旅游线，护林员在山脚的点观测两竹海景观，（视为质点），测得景观位于点的北偏东75°方向上，距离点600米，景观位于点的东偏南30°方向上，距离点米，，，三点都在同一水平面上，则景观，之间的距离是______米.14.函数在上至少有3个零点，则的最小值是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别是，，，且，，且为锐角.（1）求的值；（2）若，求的周长.16.已知复数，.（1）若，求，的值；（2）若是纯虚数，且，求；（3）若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）求在上的值域.18.如图，在中，，，，是线段的中点..（1）当时，用，表示向量，.（2）当时，求向量，夹角的余弦值.（3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.如图，在边长为6的正方形中，、分别为边，上的点（不包含端点），且.（1）求；（2）若，求的值；（3）求面积的最小值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解题的关键是先根据复数乘法法则计算出，再根据共轭复数的定义求出.解答过程：因为z=3i+22.在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，且，所以，由正弦定理可得，则.3.下列说法正确的是（）A.若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等B.若，，则C.若向量，是共线向量，则点，，，必在同一条直线上D.若为的垂心，则答案：D解析：解答过程：若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等或互为相反向量，A错误；当时，得，，此时向量，不一定平行，B错误；当四边形是平行四边形时，满足向量，是共线向量，但点，，，不在同一条直线上，C错误；若为的垂心，可得AO⊥BC,则，D正确.4.已知复数是关于的方程的一个复数根，则（）A. B. C.4 D.8答案：A解析：解答过程：由题意可得，即，解得.5.某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，得出，求出，最后解不等式即可.解答过程：设，则，所以，若，则，若，则，所以.由，得，则，因为，所以，则，解得.6.已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：向量a⃗=(−1,m),得−2+mm−1<02所以的取值范围是(−1,137.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：B解析：思路：利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.解答过程：在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、为的内角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴为等边三角形.故选：B.8.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：设，，满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，因为，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最大值是 B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称 D.在上单调递增答案：BCD解析：思路：利用两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的周期、单调性、对称轴和对称中心可得答案.解答过程：由题意可得，则的最大值是2，A错误；的最小正周期，B正确；因为f−所以的图象关于直线对称，C正确；由x∈8π正弦函数的单调递增区间为，当时，单调递增区间为11π2,13则在8π310.已知是锐角三角形，角，，的对边分别是，，，且，，则的值可能是（）A.3 B.4 C. D.5答案：BC解析：思路：应用余弦定理及锐角三角形列式计算求解.解答过程：因为，，所以是锐角，所以由题意可得a2即22解得，所以c=4,11.在中，，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.答案：ACD解析：思路：由向量线性运算计算可判断AB；由向量线性运算及列式计算可判断C；由，根据基本不等式“1”的妙用计算可判断D.解答过程：因为，所以.因为，，所以，A正确，B错误.因为三点共线，所以，当时，,，.因为，，三点共线，所以，即，所以53=−13k因为三点共线，所以，即，且，，所以，当且仅当时，等号成立，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.答案：解析：思路：应用投影向量公式结合数量积坐标公式计算求解.解答过程：由题意可得向量在向量上的投影向量为a⃗⋅b⃗b13.为打造“熊猫竹海”生态旅游线，护林员在山脚的点观测两竹海景观，（视为质点），测得景观位于点的北偏东75°方向上，距离点600米，景观位于点的东偏南30°方向上，距离点米，，，三点都在同一水平面上，则景观，之间的距离是______米.答案：解析：解答过程：如图，由题意可知米，米，∠APB=90°−75°+30°=45°，则，故米.14.函数在上至少有3个零点，则的最小值是___________.答案：解析：解答过程：因为，且，所以.因为在上至少有3个零点，所以，解得，故的最小值是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别是，，，且，，且为锐角.（1）求的值；（2）若，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据余弦二倍角公式，同角三角函数关系可得答案；（2）由正弦定理和余弦定理可得，求出周长.（1）因为，且，所以，由，可得，因为为锐角，所以，所以.（2）由，得，即，由余弦定理可得，即，所以，解得（舍去），则，故的周长为16.已知复数，.（1）若，求，的值；（2）若是纯虚数，且，求；（3）若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据复数的加法运算及复数相等列式即可求出答案；（2）根据复数的乘法运算及纯虚数的概念可求出，再根据z1=25求出，根据z（3）z1（1）因为，，所以z1则a+1=3b+2=5，解得，（2）因为，，所以z1因为是纯虚数，所以且ab+2≠0，则，因为z1=25，所以，所以则z2（3）由，得，则z1因为在复平面内对应的点位于第一象限，所以3−2b解得，即的取值范围为−23,17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）求在上的值域.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式；（2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解；（3）当时，，进而利用整体代换法即可求解值域.（1）由图可知，，则，所以，则，又，则，即，则，又，则，所以.（2）令，得，则函数的单调递减区间为.（3）当时，，则，即，则在上的值域为.18.如图，在中，，，，是线段的中点..（1）当时，用，表示向量，.（2）当时，求向量，夹角的余弦值.（3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1），（2）（3）存在，解析：思路：（1）由向量加减、数乘的几何意义，用表示出；（2）应用向量数量积的运算律求数量积、模长，再由夹角公式求夹角余弦值；（3）应用向量数量积的运算律及，列方程求参数值，即可得结论.（1）由题设，（2）由（1），，即，，即，所以.（3）存在使，理由如下：由题设，而，所以，所以，所以，即.19.如图，在边长为6的正方形中，、分别为边，上的点（不包含端点），且.（1）求；（2）若，求的值；（3）求面积的最小值.答案：（1）（2）（3）解析