2025-2026学年四川富顺县永年中学校高三下册考前模拟数学试题 含答案

/数学一、选择题I：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在下列每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.1 B. C.5 D.3.已知向量满足，则的值为（）A.4 B.2 C.1 D.04.已知，则曲线在点处的切线斜率为（）A.0 B.1 C.2 D.45.已知，则（）A. B. C. D.6.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（）A. B. C. D.7.设且则（）A. B.C. D.8.定义在正整数集上的函数满足：且，数列满足．从集合中随机抽取一个整数k，记事件为是3的倍数，则（）A. B. C. D.二、选择题Ⅱ：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在下列每小题给出的四个选项中，有至少两项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分．9.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.数列是等比数列 B.C.数列是等差数列 D.10.从中随机不放回地抽取两个不同的数，记它们的乘积为M，则下列结论正确的是（）A.M是偶数的概率大于 B.M是3的倍数的概率为C.M是完全平方数的概率大于 D.M各数字之和的奇偶性与相同11.某工厂生产一种产品，其成本（万元）与产品x（百件）满足，收入，利润，则下列结论错误的是（）A.在处取得极大值 B.在上的最小值为10C.当时，边际利润 D.存在使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．根据题目要求作答，并将正确答案写在答题卡上．12.若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为______．13.在一个游戏中，玩家选择战士、法师、猎人的概率分别为、、，战士、法师、猎人触发“宝藏事件”的概率分别为、、．现在随机选择一名玩家，则该玩家触发宝藏事件的概率为______．14.过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、演算过程及步骤．15.记的内角的对角分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积为，求的最小值．16.已知椭圆的右焦点为，短轴长为．（1）求E的方程；（2）过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值．17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值．18.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：．19.在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量．（1）求，的值；（2）求的分布列；（3）记是的数学期望，证明：．附：对任意随机变量，有．

数学一、选择题I：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在下列每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：集合，所以，解得：，即：集合，，所以.2.已知，则（）A.1 B. C.5 D.答案：B解析：思路：根据复数除法的运算法则求出复数，再根据复数模的公式计算即可.解答过程：因为，所以，所以.3.已知向量满足，则的值为（）A.4 B.2 C.1 D.0答案：D解析：解答过程：因为，所以，化简得：，所以，则.4.已知，则曲线在点处的切线斜率为（）A.0 B.1 C.2 D.4答案：C解析：解答过程：令，则，所以原函数变为：，所以函数为，，则，，即：则曲线在点处的切线斜率为2.5.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由余弦的二倍角公式得.6.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径，且边长为4的正三角形内切圆半径为：，所以圆锥内切球的表面积为.7.设且则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解.解答过程：由题，所以，因为，，所以，，，所以或，解得或（舍去）.故选：A8.定义在正整数集上的函数满足：且，数列满足．从集合中随机抽取一个整数k，记事件为是3的倍数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由条件先证明数列是等差数列，并求出通项公式，进而得到，利用的关系式求出事件所包含的样本点个数，即可利用古典概型的概率公式求出.解答过程：因为函数满足：且，令，将其代入上式可得.所以可知数列是一个以为公差，以为首项的等差数列，所以，则.若是3的倍数，则是3的倍数，即能被3整除，则是被3整除余2的数，令（为非负整数），且，则，解得.因为为非负整数，所以取共个值，即事件包含个样本点，而样本空间中总共包含2026个样本点，所以.二、选择题Ⅱ：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在下列每小题给出的四个选项中，有至少两项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分．9.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.数列是等比数列 B.C.数列是等差数列 D.答案：ABC解析：解答过程：因为，所以，所以是以首项为，公差为1的等差数列，所以，代入验证也符合.A选项，因为，所以，则是等比数列，所以A选项正确；B选项，，则，所以B选项正确;C选项，，则是等差数列，所以C选项正确；D选项，，所以D选项错误.10.从中随机不放回地抽取两个不同的数，记它们的乘积为M，则下列结论正确的是（）A.M是偶数的概率大于 B.M是3的倍数的概率为C.M是完全平方数的概率大于 D.M各数字之和的奇偶性与相同答案：AC解析：思路：首先计算出全部的抽取结果数，对于A，利用奇数奇数奇数分析对立事件M是奇数的概率；对于B，利用两个不是的倍数的数的乘积不是的倍数分析对立事件M不是3的倍数的概率；对于C，两个不相等的数的乘积若是完全平方数，则除去它们各自包含的完全平方数因子后，剩下的无平方因子部分必须相同，分析形如的数的个数，得到P(M是完全平方数)大于；对于D，举反例即可.解答过程：从中随机不放回地抽取两个不同的数，共有种结果.对于A，考虑为奇数的情况，只有当两个数均为奇数时乘积才是奇数，而中有个奇数，所以P(M是奇数)，从而P(M是偶数)，A正确；对于B，考虑不是的倍数的情况，只有当两个数均不是的倍数时乘积才不是的倍数，而中的倍数有个，不是的倍数有个，所以P(M不是3的倍数)，从而P(M是3的倍数)，B错误；对于C，若两个数符合的形式，则它们的乘积为完全平方数，其中的因子不包含完全平方数，当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果；当时，满足的最大整数为，所以有种结果，可得P(M是完全平方数)，C正确；对于D，假设，则为偶数，而，各数字之和为为奇数，两者的奇偶性不相同，D错误.11.某工厂生产一种产品，其成本（万元）与产品x（百件）满足，收入，利润，则下列结论错误的是（）A.在处取得极大值 B.在上的最小值为10C.当时，边际利润 D.存在使得答案：ABD解析：思路：先求出利润函数，再求出其导数，借助导数研究函数在上的极值，最值以及在上的单调性，即可对各选项做出判断.解答过程：由题意可知利润函数，对其求导，可得，令，解得或.故当时，，单调递增；当或时，，单调递减，所以在处取得极小值，故A错误；所以在处取得极大值，故当时，边际利润，故C正确；因为，，，所以在上的最大值为10，最小值为6，故B错误；因为在上的最大值是在极大值点处取得，且，且当时，，所以在时的最大值为10，故不存在使得，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．根据题目要求作答，并将正确答案写在答题卡上．12.若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为______．答案：解析：思路：法一：由奇函数的性质得化简即可；法二：由，解得，再检验是奇函数即可.解答过程：法一：因为为奇函数，所以，所以，解得．检验：当时，的定义域为，不合题意；当时，的定义域为R，符合题意，故．法二：由题意，，解得．而当时，，又，所以．故答案为:13.在一个游戏中，玩家选择战士、法师、猎人的概率分别为、、，战士、法师、猎人触发“宝藏事件”的概率分别为、、．现在随机选择一名玩家，则该玩家触发宝藏事件的概率为______．答案：0.26解析：思路：利用全概率公式即可求解.解答过程：设玩家选择战士、法师、猎人分别为事件、、，随机选择一名玩家触发宝藏事件为事件，则由全概率公式得：.14.过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为______．答案：解析：思路：由题可得四边形为矩形，则，由，结合，求出，再利用勾股定理即可求解.解答过程：如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形，因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形，所以．由双曲线的定义，得，即，又因为，所以．由，得，解得，所以，故C的渐近线方程为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、演算过程及步骤．15.记的内角的对角分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积为，求的最小值．答案：（1）因为，又由余弦定理知，将其代入上式可得，即，整理可得，即，所以；（2）解析：思路：（1）利用三角恒等变换及余弦定理将条件化简即可得证；（2）由及三角形的面积公式得到和的关系，利用的取值范围，即可求出的最小值.（1）略（2）若的面积为，由（1）知，则，即.因为，所以，即，即，解得，所以的最小值为，此时.16.已知椭圆的右焦点为，短轴长为．（1）求E的方程；（2）过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值．答案：（1）（2）定值为解析：思路：(1)根据短轴长求，根据右焦点为，，求；(2)分直线斜率为0和直线斜率不为0两种情况讨论.（1）因为右焦点为，故半焦距，因为短轴长为，所以，由，得，因此，椭圆的标准方程为；（2）证明:设，，点，直线的斜率分别为，，情况1：当直线斜率为0时，此时直线为x轴，方程为，与椭圆的交点为，，，故，成立；情况2：当直线斜率不为0时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去并整理：，故方程有两个不等实根，由韦达定理得,由，，得，，代入得：将代入分子因此，综上，无论直线的斜率是否为0，直线与的斜率之和恒为定值.17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证.（2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果.（3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值.（1）由条件得，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，因为，所以平面，，垂足为，平面，所以，，平面，所以平面，，，所以.（3）由（1）（2）可知，两两垂直，以为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量，则：，令，则，所以，设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为，则.18.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）若，且存在，，使得，证明：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得；（3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得.（1）若，则，，，又，故曲线在点处的切线方程为；（2）由时，，即，整理得，令，，则，故在上单调递减，则，即；（3）若，则，，故当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，则，不妨设，则，由，则，两边同取对数，可得，故，令，则，即，，故，要证，只需证，即只需证，令，则，故在上单调递增，则，即有恒成立，即得证.19.在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量．（1）求，的值；（2）求的分布列；（3）记是的数学期望，证明：．附：对任意随机变量，有．答案：（1）（2）分布列如下：123（3）证明见解析解析