2025-2026学年四川省成都市彭州中学高三下册模拟预测数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}2.在中，，则的面积为（）A.6 B.8 C.24 D.483.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.4.若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（）.A. B. C. D.6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块7.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.8.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.10.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（）A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况11.某次数学考试的最后一道多选题共有4个选项，正确答案为2项或3项，满分6分，评分标准是，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确答案为2项，仅选对1项得3分；若正确答案为3项，仅选对1项得2分，仅选对2项得4分），有错选或不选则得0分．已知最后这道多选题正确答案是3项的概率是2项的2倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个选项的概率各为，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为X、Y、Z，其得分的期望分别为，则下列说法正确的有（）A.事件“”与事件“”是互斥的B.甲同学不得0分的概率C.D.在三名同学的得分和的条件下，他们中有且仅有一人得0分的概率是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，正方形的边长为，则__________________.13.已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________．14.设，则使得的的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．17.如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．（1）证明：平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．18.在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书．（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率；（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选”（i）求的分布列；（ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望．19.已知椭圆：，，是左右焦点，且直线过点（）交椭圆于，两点，点，在轴上方，点在线段上．（1）若为上顶点，，求的值；（2）若，原点到直线的距离为，求直线的方程；（3）对于任意点，是否存在唯一的直线，使得，若存在，求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}答案：C解析：解答过程：试题分析：根据补集的运算得．故选C.【考点】补集的运算.【易错方法提示：解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2.在中，，则的面积为（）A.6 B.8 C.24 D.48答案：C解析：思路：先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可.解答过程：设，根据余弦定理，已知，，，代入可得：，即，解得，由于，则为直角三角形，则.故选：C.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.答案：C解析：思路：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．解答过程：则．故选C．方法提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．4.若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点，充分性成立；而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立，如函数，在开区间内有零点，但，必要性不成立.则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件.故选：A5.已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（）.A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据双曲线的定义和等积法可求内切圆的半径.解答过程：如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为.依题意可得，且,因为为线段的中点，故，设，则，故，故，由双曲线定义可得，故的周长为，故，故.6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块答案：C解析：思路：第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.解答过程：设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C.7.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，根据可得，即可得在上单调递减，进而可求解.解答过程：构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A8.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由点在半圆上，可求，再根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程解答过程：由点在半圆上，所以，由椭圆可知图中，要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时，M到直线AG的距离最大，此时，即，又，所以半椭圆的方程为故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）9.已知，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用同角三角函数关系并结合的范围逐一计算判断即可.解答过程：对于A，由，得，∴，故A正确；对于B，由，得，又，∴，∴，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，故选：ACD.10.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（）A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况答案：ACD解析：思路：将4个奖项分给4个人的全排列数判断A；按另两个奖项由1人获得、2人获得分类计算判断B；将4个奖项按平均分组，再分配判断C；取2个奖项一组，分3组分给3人判断D.解答过程：对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确．对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，B错误．对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确．对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，D正确．故选：ACD11.某次数学考试的最后一道多选题共有4个选项，正确答案为2项或3项，满分6分，评分标准是，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确答案为2项，仅选对1项得3分；若正确答案为3项，仅选对1项得2分，仅选对2项得4分），有错选或不选则得0分．已知最后这道多选题正确答案是3项的概率是2项的2倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个选项的概率各为，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为X、Y、Z，其得分的期望分别为，则下列说法正确的有（）A.事件“”与事件“”是互斥的B.甲同学不得0分的概率C.D.在三名同学的得分和的条件下，他们中有且仅有一人得0分的概率是答案：AB解析：思路：根据题意结合事件的关系即可判断A；计算甲同学的概率分布，即可得甲同学不得0分的概率，从而判断B；分别求解甲乙丙三为同学的概率分布，计算期望，比较大小即可判断C；记事件“三名同学的得分和”，“他们中有且仅有一人得0分”，利用条件概率公式求解即可判断D.解答过程：不能同时等于2，即两事件不能同时发生，所以A正确；，，，，所以，，，所以B正确；，；，所以；，，，所以，故C错误；记事件“三名同学的得分和”，“他们中有且仅有一人得0分”，事件A发生时仅可能有三个选项正确，则，，则，故D错误.故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，正方形的边长为，则__________________.答案：解析：思路：在正方形中确定向量的模以及夹角，再根据数量积的定义进行计算即可.解答过程：解析：正方形的边长为，则AC长为向量的夹角为，故，故答案为.13.已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________．答案：解析：思路：分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围.解答过程：显然四边形为等腰梯形，

因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以，当时，设直线与y轴的交点，根据等腰梯形的对称性可得符合题意；当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N，因为三角形与三角形全等，所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于，可知：直线，联立，解得，即，同理可得：，由题意可得：，整理得，且，解得；综上所述：的取值范围是.故答案为.方法提示：关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题.14.设，则使得的的取值范围是______.答案：解析：思路：构造新函数，判断其奇偶性，然后利用导数判断单调性，结合奇偶性和单调性去掉函数符号即可求解.解答过程：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数即为，则，易知，所以是定义在上的偶函数，，当时，，所以，所以函数在上单调递减，又，所以，即，即，解得.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）运用等差数列性质公式计算即可.（2）运用分组求和，结合等差等比数列求和公式计算即可.（1）设的公差为d，因为，所以，又，则，故，所以.（2）由（1）可得：16.已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．答案：（1）a＝e；（2）y＝(1－e)x－1.解析：思路：（1）根据，即可求得参数值；（2）设出切点坐标，根据，以及切点在曲线上且在切线上，即可求得结果.解答过程：（1）f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线平行于x轴，所以f′（1）＝1－＝0，解得a＝.（2）当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①f′(x0)＝1－＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.方法提示：本题考查导数的几何意义，属综合基础题.17.如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．（1）证明：平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．答案：（1）证明：由三棱台知，平面，因为平面，且平面平面，所以，又，所以，因为，所以，又，，且平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法可得结果.（1）略.（2）以为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，则，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，易得平面的一个法向量，设与平面夹角为，由（1）知，所以由已知得，解得，所以三棱台的高为．18.在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书．（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率；（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选”（i）求的分布列；（ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望．答案：（1）（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）分布列见解析，解析：思路：（1）根据古典概率计算公式计算即可；（2）（ⅰ）根据两点分布分布列计算即可；（ⅱ）列出随机变量X的可能取值，计算对应概率，可得分布列与数学期望，即