2025-2026学年浙江省A9协作体高一下册期中联考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟；第I卷一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在中，若，则（）A. B. C.或 D.或3.已知与的夹角为，则（）A.2 B. C. D.34.如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（）A.直线 B.直线 C.直线 D.直线5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（）A.1 B. C.2 D.7.已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（）A. B. C. D.8.已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（）A.2 B.3 C. D.4二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，选对部分选项得部分分，选错不得分）9.下列说法中不正确的是（）A.若，则B.若，则是一个单位向量C.若，则D.若，则与的夹角为钝角10.在中，角的对边分别为，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则为等边三角形C.若，则的面积最大值为D.若，则满足条件的有两个11.在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（）A.球的表面积是B.直线与直线是异面直线C.正四棱台的体积是D.直线与平面的夹角是第II卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知复数，则__________.13.在平面直角坐标系中，已知点，点，若点在以为直径的圆上，，则__________.14.在中，角的对边分别为，若，点满足，则的最大值是__________.四､解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.设复数.（1）若是实数，是纯虚数，求；（2）若互为共轭复数，求.16.在锐角中，角的对边分别为.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.17.如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中，（1）证明：直线平面；（2）若，求二面角的大小.18.如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点.（1）求的值；（2）若，求；（3）若点在以点为圆心，2为半径的圆上，求的取值范围.19.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.（1）证明：直线平面；（2）若直线与平面的夹角的正切值为，（i）求四棱锥的体积；（ii）求三棱锥的外接球的半径.

数学满分150分，考试时间120分钟；第I卷一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程.则其在复平面内所对应的点的坐标为，则对应的点在第二象限.2.在中，若，则（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：思路：根据正弦定理得，再结合得.解答过程：因为在中，，即，所以由正弦定理，得，解得，因为，所以，所以.3.已知与的夹角为，则（）A.2 B. C. D.3答案：A解析：解答过程：因为与的夹角为，所以，所以4.如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（）A.直线 B.直线 C.直线 D.直线答案：D解析：解答过程：由，而平面，故A错误；由，而平面，故B错误；因为且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，故C错误；如图所示，连接交于，连接，所以点是的中点，又点是的中点，所以，而平面，平面，所以平面，故D正确.5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：C解析：解答过程：对于A，，则，相交或异面，故错误；对于B，，则与的关系可以是平行，相交或，故错误；对于C，，则，故正确对于D，如图，满足，不满足，故D错误.6.如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（）A.1 B. C.2 D.答案：D解析：思路：过点作轴，交轴于点，结合题意得，再根据斜二测画法的规则得即可得答案.解答过程：如图，过点作轴，交轴于点，因为直线垂直于轴，，所以，即为等腰直角三角形，因为，所以，所以在原图形中，，，所以在中，点到边的距离是7.已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由圆锥、圆柱的表面积公式即可求解.解答过程：由底面半径，高，圆锥母线长，

圆锥表面积：

圆柱表面积：，所以

.8.已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（）A.2 B.3 C. D.4答案：B解析：思路：由题意知分别是的外心与重心，设的中点为，连接，则三点共线，再结合重心，外心的性质得，，最后结合三角形面积公式计算即可.解答过程：因为满足，所以分别是的外心与重心，即是各边中垂线的交点，是中线的交点，设的中点为，连接，因为是的外心，所以因为，所以三点共线，即是边上的中线，因为重心在中线上，且，所以，因为是中线，，三点共线，所以，所以的面积是二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，选对部分选项得部分分，选错不得分）9.下列说法中不正确的是（）A.若，则B.若，则是一个单位向量C.若，则D.若，则与的夹角为钝角答案：ACD解析：解答过程：对于A，由于的方向不确定，故A错误；对于B，若，则的模为1，故B正确；对于C，当时，此时，但不一定成立，故C错误；对于D，当与方向相反时，不属于钝角，满足，说明夹角不一定为钝角，故D错误.10.在中，角的对边分别为，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则为等边三角形C.若，则的面积最大值为D.若，则满足条件的有两个答案：ABD解析：思路：根据正弦定理得，进而判断A；利用正弦定理化边为角即可判断B；利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，结合三角形的面积公式可判断C；根据判断D.解答过程：对于A选项，由正弦定理得，故当时，，又，所以，故A选项正确；对于B选项，因为，所以，所以，且，所以，所以为等边三角形，故B正确；对于C选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，故，所以，的面积的最大值为，故C错误；对于D选项，因为，，所以，即满足条件的有2个，如图所示，故D选项正确.11.在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（）A.球的表面积是B.直线与直线是异面直线C.正四棱台的体积是D.直线与平面的夹角是答案：AC解析：思路：直接根据表面积公式计算判断A；根据内切球心在上下底面中心的连线上判断B；分别取的中点，则根据内切球的性质得等腰梯形内切圆与各边都相切，再结合几何关系求得，最后计算体积判断C；根据C求得，再求解直线与平面的夹角判断D.解答过程：对于A，由于内切球的半径是2，故球的表面积是，故A选项正确；对于B，正四棱台的内切球心在上下底面中心的连线上（即棱台的高上），如图，他们均在平面中，故B选项错误；对于C，如图，分别取的中点，则四边形是等腰梯形，且是侧面梯形的高，因为正四棱台中存在内切球，所以等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点，根据内切圆与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半，设，则，，所以，即，解得，即.所以正四棱台的体积是，故C选项正确；对于D，结合C得正四棱台的侧棱满足，即，设直线与平面的夹角为，则，故D选项错误.第II卷三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知复数，则__________.答案：解析：思路：由复数的除法运算即可求解.解答过程：13.在平面直角坐标系中，已知点，点，若点在以为直径的圆上，，则__________.答案：3解析：思路：根据题意，，再结合向量的垂直关系求解即可.解答过程：因为点，点，点在以为直径的圆上，所以且，所以，即，整理得，解得或，因为，所以舍去，故14.在中，角的对边分别为，若，点满足，则的最大值是__________.答案：解析：思路：由题意得，再结合，根据余弦定理得，最后根据基本不等式求解即可.解答过程：如图，因为，点满足，所以,所以，，因为，所以，即，代入得，整理得，即因为，当且仅当时等号成立，所以，即，所以的最大值是.四､解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.设复数.（1）若是实数，是纯虚数，求；（2）若互为共轭复数，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意得，，再求即可；（2）结合题意得，解方程即可求得答案.（1）解：由是实数知，解得由是纯虚数知，解得所以，（2）解：因为，所以，解得，故16.在锐角中，角的对边分别为.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合正弦定理边化角，根据三角恒等变换得，再结合角的范围即可得答案；（2）根据正弦定理，结合三角恒等变换得，再结合锐角三角形求得，最后根据三角函数性质即可求得答案.（1）解：因为所以，根据正弦定理边化角得即，所以，又因为，所以，即又因为，所以（2）解：因为，，所以，由得因为，在锐角中，，所以，所以，所以所以周长的取值范围为17.如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中，（1）证明：直线平面；（2）若，求二面角的大小.答案：（1）证明见解析（2）.解析：思路：（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论；（2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案.（1）证明：取中点为，连接,因为点为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为在平行四边形中，点为的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面又，平面所以平面平面，又平面，所以直线平面（2）解：取中点为，连接因为，中点为所以，是等边三角形，所以，即为二面角的平面角.在中，，由余弦定理有：，即，解得，又在中，，在内，.所以在中，，即为等边三角形，所以，即二面角的大小为.18.如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点.（1）求的值；（2）若，求；（3）若点在以点为圆心，2为半径的圆上，求的取值范围.答案：（1）6（2）（3）.解析：思路：（1）根据向量数量积的定义求解即可；（2）设，根据三点共线得即可得答案.（3）由题知，再结合（2）求得，再结合数量积的几何意义得，进而得.（1）解：梯形中，，所以为等腰梯形，因为点在上，且，所以，，所以.（2）解：设，则因为三点共线，所以，解得，所以，即（3）解：由（2）可得又如图，由向量数量积的几何意义知，，即所以所以.19.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.（1）证明：直线平面；（2）若直线与平面的夹角的正切值为，（i）求四棱锥的体积；（ii）求三棱锥的外接球的半径.答案：（1）证明见解析（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）设中点为，证明平面即可证明结论；（2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可.（ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案.（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知由四边形为矩形得，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以又，平面所以平面.由点是的中点，得，所以四点共面，所以直线平面（