2025-2026学年重庆市江北巴川量子学校高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C.2 D.3.向量与共线，则的值为（）A. B.4 C.9 D.4.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（）A. B. C. D.25.已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件6.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中，点为线段的中点，则为（）A.1 B. C.3 D.7.已知的内角所对的边分别为.若，且平分，则的面积为（）A. B. C. D.8.已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，则的最大值为（）A. B.1 C.2 D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知复数满足，则下列命题为真命题的有（）A. B. C. D.10.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是11.记的内角的对边分别为边上的中线长为，则下列情形可能发生的是（）A.满足B.满足C.满足D.满足三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，为上一点，，若用向量表示，则__________.13.一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．14.如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积__________，该球与侧面的交线长为__________.四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设，已知是关于的方程的两个虚根.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的值.16.在中，内角的对边分别为为钝角，.（1）求；（2）从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求：（1）的值；（2）点到面的距离.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某地区的摩天轮的最高点距离地面的高度约为125米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了48个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求的解析式；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为42.5米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔7个座舱（即座舱位置差为8），从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间.19.圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补.如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记，则.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若点满足，求四边形的面积.

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：复数，则虚部为.2.已知的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C.2 D.答案：C解析：解答过程：，则（负值舍去）.3.向量与共线，则的值为（）A. B.4 C.9 D.答案：D解析：解答过程：因为向量与共线，所以，解得.4.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（）A. B. C. D.2答案：B解析：解答过程：设该圆台的高为，母线为，由圆台的体积公式，得，所以.5.已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：对于充分性，由可得，即，可得，此时，于是，所以曲线关于直线对称，充分性成立；对于必要性，若曲线关于直线对称，则，此时，若取，则，此时，因，不满足，必要性不成立.故甲是乙的充分不必要条件.6.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中，点为线段的中点，则为（）A.1 B. C.3 D.答案：C解析：思路：根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，再根据数量积定义计算即可.解答过程：直观图可知原几何图形是直角梯形，如图，由斜二测画法可知，，，，点为线段的中点，所以，因为，且，所以，所以，即，因为，所以，所以.7.已知的内角所对的边分别为.若，且平分，则的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据两角和的正切公式、诱导公式，可得角A，根据条件，结合面积公式，代入求解，可得b，c的值，代入公式，即可得答案.解答过程：由题意，所以，因为，所以，因为平分，所以，由，得，所以，即，又因为，所以，则，所以，即，则，因为，所以，则，所以.8.已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，则的最大值为（）A. B.1 C.2 D.答案：B解析：解答过程：设因为与夹角为，，所以，整理得又，所以，又，所以表示的终点在线段上，且，就是线段的长度的面积，又，

由基本不等式，当且仅当时取等号，因此故的最大值为二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知复数满足，则下列命题为真命题的有（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：先根据模长公式证明，再分别计算判断各个选项.解答过程：先证.设，其中均为实数，则，所以又.对于A，得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当，时，，故D错误.10.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是答案：AD解析：思路：对A，根据向量相等可求得的值，得解；对B，根据向量垂直的坐标运算可得解；对C，利用投影向量的公式计算可得解；对D，根据且向量与不共线，运算得解.解答过程：对于A，由题可得，若，则，解得，所以，故A正确；对于B，由题可得，若，则，解得，故B错误；对于C，由题可得，，所以向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误；对于D，由题可得，，若向量与的夹角为锐角，则，解得，当向量与共线时，由，解得，此时，向量与的夹角为，不合题意；所以的取值范围是，故D正确.11.记的内角的对边分别为边上的中线长为，则下列情形可能发生的是（）A.满足B.满足C.满足D.满足答案：ACD解析：思路：在，中，利用余弦定理可得，结合每个选项代入计算，结合赋值法可判断每个选项的正误.解答过程：记边上的中点，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，对于A项，若满足，则，所以，取，则，解得，满足，可构成三角形，故A是可能的；对于B项，由中线的三角形不等式，中线的两倍与两边构成三角形，故B不可能；对于C项，若满足，则，又因为，所以，即，取，则，得，故C是可能的；对于D项，若满足，又因为，所以，则，所以，取，可以构成三角形，故D是可能的.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，为上一点，，若用向量表示，则__________.答案：解析：解答过程：因为，所以，所以，故.13.一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．答案：2解析：思路：截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可.解答过程：解：由题知，过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形(直角边为母线）时，截面面积最大，所以，最大截面面积为．故14.如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积__________，该球与侧面的交线长为__________.答案：①.②.解析：思路：先确定球心位置，再结合题意得到球的半径，再求解球的半径解决第一空，先确定交线的轨迹，作出图形，再利用图形的几何性质求解第二空即可.解答过程：由题意可知以为直径的球的球心是长方体的中心，则点到平面的距离，过点作，连接，由已知可得平面，所以，作，所以，因为，所以，所以，所以，所以，则球的半径．如图，设在平面的投影为，则为正方形的中心，设点在球与正方形的交线上，则，故以为直径的球与正方形的交线是以为圆心，为半径的圆在正方形内的曲线．设圆与的一个交点为，作，垂足为，则，所以，所以圆与正方形的交线部分的圆心角之和为，所以以为直径的球与侧面的交线长为.方法提示：本题考查立体几何，解题关键是确定交线的轨迹并作出图形，然后利用图形的性质得到所要求的轨迹长度即可.四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设，已知是关于的方程的两个虚根.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的值.答案：（1）（2）32解析：思路：（1）利用实系数一元二次方程的韦达定理，由求出，再结合虚根条件，即可求得的取值范围；（2）先通过韦达定理和求出和，再解方程求出两个虚根，最后通过利用的周期性即可求得结果.（1）（1）对于实系数一元二次方程，有，又因为，所以，即，因为是关于的方程的两个虚根，所以，即，所以的取值范围为.（2）由韦达定理知，，即，，因为，所以，因为方程有虚根，所以，所以，即.所以方程为，解得，即，所以，故.16.在中，内角的对边分别为为钝角，.（1）求；（2）从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.答案：（1）（2）若选择条件①，不符合题意，若选择条件②、条件③，面积均为解析：思路：（1）根据二倍角公式，可得的值，再结合正弦定理即可求得的值，从而得到答案.（2）若选择条件①：则不符合题意；若选择条件②：根据同角三角函数的关系，可得，根据两角和的正弦公式，可得，根据正弦定理，可得边b，代入面积公式，可得答案；若选择条件③：求出边b，根据余弦定理，可得边c，代入面积公式，可得答案.（1）由题意得，因为A为钝角，所以，则，所以，即，由正弦定理得，所以，解得，又，所以.（2）若选择条件①：则，由（1）知，所以，不存在，不符合题意；若选择条件②：由，，得，则，由正弦定理得，所以，所以的面积，符合题意；若选择条件③：由，由（1）知，则，由余弦定理得，则，即，解得或（舍），所以的面积，符合题意.17.如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求：（1）的值；（2）点到面的距离.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正三棱锥的特征和棱锥的侧面积等于底面积的倍列式即可求解；（2）根据等体积法求解即可.（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，即，而是的中点，所以.因为是正三棱锥，所以，而是的中点，所以.因为棱锥的侧面积等于底面积的倍，所以，所以.（2）设顶点在底面的投影为，分的比为，因此.在中，三棱锥的高.三棱锥的体积，因此.设点到平面的距离为，，由体积公式，解得.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某地区的摩天轮的最高点距离地面的高度约为125米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了48个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求的解析式；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为42.5米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔7个座舱（即座舱位置差为8），从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间.答案：（1）（2）分钟或分钟（3）当或分钟时，的最大值为米解析：思路：（1）设，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；（2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得；（3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.（1）设，则，又，故，，，可取，，，故解析式为．（2）令，则，，，或，解得或，故