2026年6月全国Ⅱ卷数学高考真题试题（原卷） 含答案

/2026年全国高考数学试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。1．（5分）（）A． B． C． D．2．（5分）已知集合，1，3，6，，，则（）A．， B．， C．，1， D．，3，3．（5分）已知向量满足，，则（）A． B． C． D．4．（5分）已知双曲线过点和，，则双曲线的渐近线方程是（）5．（5分）已知棱台的上下底面均为有一个内角是的菱形，且上下底面边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（）A． B． C． D．6．（5分）现有甲、乙、丙、丁等8人分成、两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一组，丙、丁不能在同一组，则不同的分配方案有（）A．10种 B．12种 C．16种 D．24种7．（5分）已知为第二象限角，且，则（）A． B． C． D．8．（5分）已知为定义在上的偶函数，且，当，时，，则（）A．， B．， C．， D．，二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分。9．（多选）（6分）已知，，则（）A．点的坐标为 B．时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两交点所在直线的方程是10．（多选）（6分）等比数列的公比，，，记数列的前项和为，则（）A． B． C． D．11．（多选）（6分）已知抛物线，斜率的直线过点，△为等边三角形，点在抛物线上，，两点在直线上，则（）A．抛物线的准线方程为 B．当直线与抛物线无交点时， C．若直线与抛物线相交于唯一一点，则抛物线的焦点在直线上 D．当时，△的面积最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）记为等差数列前项和，若，，则．13．（5分）若函数有两个零点，则的取值范围是．14．（5分）已知球的体积为，，，，四点均在球的球面上，△为等边三角形．若，则△的面积为．四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天，绘制成如下的频率分布直方图：（1）求第一四分位数和中位数；（2）为首次故障时间小于365天的概率估计值．求；工厂向某用户销售100件电子元件，为这100件产品首次出现故障小于365天的件数，则，求，．16．（15分）如图，三棱锥中，点在上，，，．（1）证明：；（2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值．17．（15分）在△中，已知，．（1）证明：△为钝角三角形；（2）若△的面积为，求△周长．18．（17分）已知椭圆，过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的长度为．（1）求的离心率；（2）为坐标原点，给定点，，，在上，过点作轴的垂线，垂足为，与交于点．当在上运动时，的轨迹为．求的方程，并说明是什么曲线；当为何值时，有中心点？当有中心点时，平移到，使为的中心点，说明为何形状？19．（17分）已知函数，曲线在点，处的切线方程为．（1）求，；（2）当时，，求的取值范围；（3）当时，，求的最小值．

答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。1．【正确答案】利用复数的乘法及乘方运算求解即可．，故选：．2．【正确答案】先求出集合，再由交集定义求解．集合，1，3，6，，，，则，．故选：．3．【正确答案】因为，，所以，；两式相减得，，解得．故选：．4．【正确答案】过点，，过点，，，解得：，渐近线方程为：．故选：．5．【正确答案】因为棱台上下底面均为有一个内角是的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为，所以上下底面菱形的面积分别为，，所以该棱台体积为．故选：．6．【正确答案】甲乙同在组时，丙在组，有4种分配方案，丁在组，有4种分配方案，共8种分配方案；同理，甲乙同在组时，也有8种分配方案，所以共有16种分配方案．故选：．7．【正确答案】因为为第二象限角，且，所以，因为，所以，则，所以，，则．故选：．8．【正确答案】，，令，则，，的周期为4，令，则，是偶函数，，，的对称轴为，；令，则（1），（1），（1），（3），即，．故选：．二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分。9．【正确答案】对于，的方程可化为，圆心为，错误；对于，时，半径，圆心到轴的距离为4，所以与轴相切，正确；对于，时，半径，圆心距，又，所以两圆内切，正确；对于，若与相交，两圆方程相减得，即当与相交时，两交点所在直线的方程是，错误．故选：．10．【正确答案】由题意，，因为，所以，因为，所以，正确；，错误；因为，所以，因为，所以，正确；，时，，所以，正确．故选：．11．【正确答案】抛物线，，准线方程为：，故正确；由点斜式可得，直线，联立直线与抛物线，整理得：，△，当△时，直线与没有交点，即，解得：或，，，故正确；当△时，直线月交于唯一点，，，，直线，，抛物线焦点，，△为等边三角形，，若过焦点，则，，不可能过焦点，故错误；当时，直线，，直线与抛物线无交点，设，，到直线距离为，，△为等边三角形，，，取最小值时，取最小值，去最小值时，取最小值，，时，最小，最小值为，，故正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【正确答案】24．为等差数列前项和，，，公差，则．故24．13．【正确答案】．令，则，令，则直线与函数有两个同交点，又因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，所以实数的取值范围为．故．14．【正确答案】．由球的体积公式可得，可得球的半径，因为，所以点在底面上的投影是△的中心．设球心为，则，，三点共线，且．设△的外接圆半径为，，则，又，且，，在△中：，解得．设等边△的边长为，由外接圆半径，可得，所以．故．四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【正确答案】（1）370天，381天；（2）；，．（1）由频率分布直方图可知，组距为10，，的频率为，，的频率为，，的频率为，，的频率为，，的频率为，设第一四分位数为，中位数为，，的频率为，，的频率为，，的频率为，在，，在，，（天，（天；（2）首次故障时间小于365天，即落在，，频率为0.15，，，，，．16．（15分）【正确答案】（1）详见解析；（2）．（1）证明：因为，，，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且，，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，，两两互相垂直，在上取点，使得，因为，，所以，所以，所以，，两两互相垂直，则以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，0，，，，，，2，，，2，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．17．（15分）【正确答案】（1）详见解析；（2）；（1）证明：因为，且，所以，因为，所以，因为，所以，所以与一个为正，一个为负，即和中有一个为钝角，所以△为钝角三角形；（2）因为，且，所以，因为△面积为，所以，所以，由正弦定理得：，其中为△的外接圆半径，因为，所以，所以，所以，由余弦定理得：，所以，即，所以△周长为．18．（17分）【正确答案】（1）；（2）当时，曲线为抛物线（不含与轴交点）；当或时，曲线为椭圆（不含与轴交点）；当或时，曲线为双曲线（不含与轴交点）；；当时，轨迹存在对称中心，，，时，为椭圆（不含与轴交点），，，时，是双曲线（不含与轴交点）．（1）由椭圆方程可知，，设过右焦点垂直于轴的直线交椭圆于，左右焦点分别为，，连接，，，由椭圆的定义可知，，，，又，，；（2）由（1）知，椭圆，设点，轴，，直线的方程为：，直线的方程为：，，，在椭圆上，，整理得：，，，的方程为：，当时，曲线为抛物线（不含与轴交点），当或时，曲线为椭圆（不含与轴交点），当或时，曲线为双曲线（不含与轴交点）；，方程不变，关于轴对称，设对称中心为，恒成立，，，当存在时，，对称中心从平移到，的方程为：，整理得：，当时，为椭圆（不含与轴交点），当时，是双曲线（不含与轴交点），即，，时，为椭圆（不含与轴交点），，，时，是双曲线（不含与轴交点），综上所述，当时，轨迹存在对称中心，，，时，为椭圆（不含与轴交点），，，时，是双曲线（不含与轴交点）．19．（17分）【正确