2025-2026学年四川万源中学高二下册期中检测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列数列是单调递减数列的是（）A. B. C. D.2.小张计划周日去某电影院看一部电影，该电影院周日上映的电影有三个类别，其中类有部（他有部不想看），类有部（他有部不想看），类有部（他有部不想看），则他周日去该电影院想看的电影共有（）A.部 B.部 C.部 D.部3.某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，则牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为（）A. B. C. D.4.设函数，则（）A.4 B.6 C.8 D.105.某峨眉山旅游团共有11人（含小陈一家三口和小蔡一家四口），当他们到达金顶时，要站成一排拍照留念，则小陈一家站在一起且小蔡一家站在一起的排法数为（）A. B. C. D.6.设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（）A.2 B. C. D.7.已知数列满足，则数列的前项和为（）A. B. C. D.8.若，且，则（）A.-10 B. C.10 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列分别是等差、等比数列，则必有（）A. B.C. D.成等比数列10.已知函数，则（）A.B.C.均为增函数D.函数存在极值11.设正项数列的前项和为，若在正方体中，为平面外一点，且对任意都成立，则（）A. B. C.为等差数列 D.数列的前项和小于6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若抛物线的焦点在圆上，则_________．13.函数的极值点为_________．14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）求的前2n项和；（3）若从的前100项中任选1项，求这项是偶数的概率．16.已知函数.（1）设.（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求的单调区间.（2）若恒成立，求的取值范围.17.已知函数．（1）当时，求在上的值域；（2）证明：当时，恰有两个极值点．18.已知椭圆的左､右焦点分别为是上位于第一象限的点，，点在上，分别为的左､右顶点.（1）求的方程.（2）设为坐标原点，直线与交于两点，将坐标平面沿轴翻折成一个直二面角，如图所示.（i）当时，在翻折前，线段的中点为，求翻折后时二面角的余弦值；（ii）若，翻折后，，求的面积.19.在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列.（1）试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由．（2）已知正项数列存在等比型递推结构，且．（i）求的通项公式；（ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列数列是单调递减数列的是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：数列是单调递减数列，都是单调递增数列．2.小张计划周日去某电影院看一部电影，该电影院周日上映的电影有三个类别，其中类有部（他有部不想看），类有部（他有部不想看），类有部（他有部不想看），则他周日去该电影院想看的电影共有（）A.部 B.部 C.部 D.部答案：B解析：解答过程：由加法计数原理可知，小张周日想看的电影有部．3.某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，则牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据题意可得牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为.4.设函数，则（）A.4 B.6 C.8 D.10答案：D解析：解答过程：由函数，得.所以．5.某峨眉山旅游团共有11人（含小陈一家三口和小蔡一家四口），当他们到达金顶时，要站成一排拍照留念，则小陈一家站在一起且小蔡一家站在一起的排法数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由捆绑法可得小陈一家站在一起且小蔡一家站在一起的排法数为．6.设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（）A.2 B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，设直线的方程为，求得，由，求得，进而求得双曲线的离心率.解答过程：由双曲线，可得其渐近线方程为，不妨设直线的方程为，令，可得，即，因为，可得，可得，解得，所以的离心率为.7.已知数列满足，则数列的前项和为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，，故是周期为的周期数列，，所以的通项，即数列为：交替排列，数列的前项.8.若，且，则（）A.-10 B. C.10 D.答案：C解析：思路：由，且，，且.构造函数，利用导数分析其单调性，可得，从而得到.解答过程：由，且，得，且，即，且.设，得，当时，，所以在上单调递增，则在上有唯一解．因为，所以，所以，即．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列分别是等差、等比数列，则必有（）A. B.C. D.成等比数列答案：BC解析：思路：根据等差数列以及等比数列的性质，即可根据选项逐一求解.解答过程：对于A选项，若，则，此时不成立，A错误．对于B选项，设公差为，则，B正确．对于C选项，由于等比数列中有，且，故，C正确．对于D选项，当公比为时，，所以不是等比数列，D错误．10.已知函数，则（）A.B.C.均为增函数D.函数存在极值答案：BC解析：思路：当时，即可判断A；利用导数得到,的单调性即可判断BC；对求导，分析极值即可判断D．解答过程：解：当时，，A错误；易得在上单调递增，所以在上单调递增，则，B正确；，所以在上单调递增，C正确；0，则在上单调递增，不存在极值，D错误．11.设正项数列的前项和为，若在正方体中，为平面外一点，且对任意都成立，则（）A. B. C.为等差数列 D.数列的前项和小于6答案：ACD解析：思路：A选项利用四点共面的充要条件（系数和等于）建立等式，代入解方程求得首项；C选项在得到后，运用（）作差化简，结合正项数列条件得出公差为的等差数列；B选项直接由等差数列通项公式计算为，从而排除；D选项针对等差通项除以等比通项构成的数列，采用错位相减法求和并放缩证明其小于.解答过程：由，得．因为四点共面，所以，即，令，得，解得，A正确．由，得，当时，，两式相减得，整理得．，因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确．，B错误．设，则，两式相减得，所以，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若抛物线的焦点在圆上，则_________．答案：4解析：思路：将抛物线焦点代入圆的方程求解即可.解答过程：根据题意可得的焦点为，则，解得．13.函数的极值点为_________．答案：解析：解答过程：原式求导得：，令或，当时，，单调递减，当时，，单调递减，时左右两侧符号没有变化，故不是极值点，当时，，单调递增，当时，单调递减，故的极值点为．14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种．答案：13020解析：思路：对最中间的4个方格进行分类讨论，分为中间4个方格中有2个方格涂红色、中间4个方格中只有1个方格涂红色、中间4个方格都不涂红色三种，每一种逐个根据分步乘法计数原理求解即可．解答过程：设方格从左至右分别命名为，因为两端都涂红色，且相邻方格不同颜色，所以中间4个方格也可以涂红色，①当中间4个方格中有2个方格涂红色时，涂红色的位置有方格3、5或方格4、6或方格3、6共3种选择，剩下的4个方格，还有两个单独和两个相邻的，而其左右两边皆为红色方格，对于两个单独的方格而言，除红色外其他颜色都可选取，共种，对于相邻的两个方格，其中第一块方格可选除红色外的5种颜色，第二块方格选取剩余4种颜色，共种，所以该类涂法一共有种；②当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择，未涂域划分为两部分，其中对于每一部分，其中第一块方格都可以涂除红色外的5种颜色，剩余的都只能涂除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色，故剩下的共有种选择，所以该类涂法一共有种；③当中间4个方格都不涂红色时，中间一大块区域每个方格均只能涂上除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色，共有种；综上，不同的涂色方法共有种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）求的前2n项和；（3）若从的前100项中任选1项，求这项是偶数的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由等差数列的性质求解即可.（2）利用求和公式并将换为求解即可.（3）由在的前100项中，偶数项有50项，再由古典概型求解即可.（1）设的公差为d，则，则．（2）法一：由题意得．法二：由题意得．（3）当为奇数时，是偶数；当为偶数时，是奇数．在的前100项中，值为偶数的项有50项，则由古典概型可得所求概率为．16.已知函数.（1）设.（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求的单调区间.（2）若恒成立，求的取值范围.答案：（1）（i）；（ii）的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）解析：思路：（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令、即可求解；（2）（方法一）根据题意得，再令，利用导数求出的最值即可求解；（方法二）设，求导，得到，再解不等式即可．（1）函数，定义域为，若，则，（i），所以曲线在点处的切线方程为，即.（ii）令，得，所以的单调递增区间为；令，得，所以的单调递减区间为.（2）（方法一）若恒成立，则，即恒成立.设，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，则，即，所以的取值范围为.（方法二）设，则.令，得，令，得，则，得．17.已知函数．（1）当时，求在上的值域；（2）证明：当时，恰有两个极值点．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）利用导数分析，当时，的单调性，从而求得其在上的值域；（2）分析当时，函数的导函数的单调性及取值情况，从而证得此时恰有两个极值点．（1）当时，．令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增．，因为，所以在处取得最大值，最大值为，所以在上的值域为．（2）当时，，则．令，则.因为是增函数，所以当时，单调递减；当时，单调递增．因为，所以存在，使得．所以当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；当时，，即单调递增．所以0为的极大值点，为的极小值点，故恰有两个极值点．18.已知椭圆的左､右焦点分别为是上位于第一象限的点，，点在上，分别为的左､右顶点.（1）求的方程.（2）设为坐标原点，直线与交于两点，将坐标平面沿轴翻折成一个直二面角，如图所示.（i）当时，在翻折前，线段的中点为，求翻折后时二面角的余弦值；（ii）若，翻折后，，求的面积.答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）由题意可求得，进而可得的方程.（2）（i）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系可得，求解可得，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值；（ii）联立方程组可得，求得，，进而计算可求得的面积.（1）由题意得，即，因为点在上，所以，故的方程为.（2）（i）依题意得，由，得，所以，解得或（舍去），将代入，解得或，，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则，令，所以平面的一个法向量为.易得平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，，所以二面角的余弦值为.（ii）由，得，得.翻折后，，则，，解得..19.在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列.（1）试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由．（2）已知正项数列存在等比型递推结构，且．（i）求的通项公式；（ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立.答案：（1）数列存在等比型递推结构，理由见解析（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）根据题意，结合等比型递推的定义，即可求解；（2）（i）设，，根据题意，求得，得到，结合累积法，即可求得数列的通项公式