2025-2026学年重庆市九龙坡、渝中区等4地高一下册期末学业质量调研抽测数学试题 含答案

/2025-2026学年度（下期）高中学业质量调研抽测数学试题一、单选题1．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（

）A．0.2401 B．0.7599 C．0.0081 D．0.0812．已知向量满足与的夹角为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．若复数满足，则（

）A． B． C． D．4．如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（

）A．平面B．八面体的体积为C．的最小值为D．点到平面的距离为7．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（

）甲同学：中位数为22，众数为20乙同学：中位数为25，平均数为22丙同学：第40百分位数为22，极差为2丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8A．1 B．2 C．3 D．48．若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲､乙､丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（

）A．甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为B．只有甲､丙小组受到奖励的概率为C．只有一个小组受到奖励的概率等于D．技术难题被攻克的概率为10．已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（

）A．复数是实数，则实数或B．若是复数，且，则的最大值为C．若是复数，且，则D．若是关于的方程的一个根，则11．在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（

）A．B．的最大值为4C．的取值范围为D．若为的中点，则的取值范围为三、填空题12．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，某团队两位运动员10次跳台跳水的成绩为：，则这组数据的第60百分位数为.13．若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是.14．如图，现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥且，，分别为棱，，上离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为cm.四、解答题15．某中学800名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的800名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中女生的人数.16．在中，角的对边分别为，已知.(1)求的值；(2)若，求的值；(3)若的面积为，且，求的周长.17．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”.(1)若为纯虚数，求的值；(2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：；(3)已知，求.18．如图，在五面体中，平面，分别为的中点，连接.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由.19．在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点.(1)求事件“为偶数”的概率；(2)若，求“二面角的平面角大于”的概率.

重庆市主城四区2025-2026学年高一下学期7月期末联考数学答案题号12345678910答案CBCADDCBACDABD题号11答案ABD1．C【详解】4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为.故选：C.2．B【详解】由与的夹角为，得，所以.故选：B.3．C【详解】设，则，，又，故，解得，故，.故选：C.4．A【详解】因为，所以，在中，由正弦定理得，即，在直角三角形中，，所以.故选：A.5．D【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或与是异面直线，故B错误；对于C，若，则或，故C错误；对于D，若，则，又因为所以，故D正确，故选：D.6．D【详解】在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分，故四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面，故A正确；因为正方体棱长为，所以四边形是正方形且，面,，所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍，而棱锥体积等于，故八面体的体积为，B正确；因为为棱上一点，将和展开成一个平面，由题和均为正三角形，且边长为，由三角形两边之和大于第三边知最小值为，在中由余弦定理可知：，故C正确；对于D选项：设点到平面的距离为，由等体积法知：即，，故D错误.故选：D.7．C【详解】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22，且不相等，所有数据一定都不小于20；乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时，符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20；丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为，则方差，若中有小于20的数，，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件，所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学.故选：C8．B【详解】，若是上的“完整函数”，则在上存在，使得成立，即，又因为，所以，即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得.综上可知.故选：B.9．ACD【详解】A选项，甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为，A正确；B选项，只有甲､丙小组受到奖励的概率为，B错误；C选项，只有一个小组受到奖励的概率等于，C正确；D选项，技术难题没有被攻克的概率为，故技术难题被攻克的概率为，D正确.故选：ACD10．ABD【详解】选项A：复数是实数，所以，解得或，故选项A正确；选项B：设，依题意，，即，其表示以原点为圆心，1为半径的圆，同时，，表示点到点的距离，即以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，圆上一点到一个定点的距离的最大值为（为圆心到定点距离，为半径），故的最大值为，选项B正确；选项C：若，，此时，，，，但，，，故选项C错误；选项D：若是关于的方程的一个根，则另一根为，根据韦达定理，两根之积，故选项D正确.故选：ABD.11．ABD【详解】由，结合正弦定理角化边得：，再由余弦定理得：，因为，所以，故A正确；再由，因为，所以，又因为，所以，解得，当且仅当时取等号，此时，故B正确；在直角中，，，斜边，故C错误；由中线平方可得：，即，利用可得：，因为，所以，当且仅当取等号，因为，所以的取值范围为，故D正确；故选：ABD.12．75【详解】10次跳台跳水的成绩从小到大排列如下：，，故从小到大，选取第6个和第7个数据的平均数作为第60百分位数，即.故7513．【详解】由题意知，．设，则．又，∴，∴．故答案为.14．【详解】由题意可得，所以为等边三角形，设的中心为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，同理可证，平面，，所以平面，因为，所以，又，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，同理证明，又平面，，所以平面，所以三点共线，设点到平面的距离为，而，，由，得，解得，即，又，所以，因为，所以该球不是正方体的内切球，连接，交与点，连接，由对称性可得球的球心位于线段上，且该球与平切，与平切，设球心为，球的半径为，则，，故，所以，所以，所以所求球形饰品的半径的最大值为.故答案为.15．(1)0.2(2)40(3)320【详解】（1）根据频率分布直方图，可计算分数小于60的频率为：所以从总体的800名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率为0.2；（2）根据频率分布直方图，可计算分数小于50的频率为：所以可计算在100人的样本中，分数小于50的频数为：人，已知样本中分数小于40的学生有5人，所以分数在内的频数为：5人，即分数在内的频率为：0.05，从而可估计总体中分数在区间内的人数约为：人；（3）根据频率分布直方图，可计算分数不小于70的频率为：，则计算样本中分数不小于70的频数为：人，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，所以此时男女生各有30人；而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有60人，所以样本中女生只有40人，可以估计总体中女生的人数约为：人16．(1)(2)(3)【详解】（1）解：（1）因为，由正弦定理得，即，因为，则，故.（2）因为，且，则，，.，，.（3），因为由余弦定理得，于是，因为，则，所以，因此，于是的周长.17．(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为，由于为纯虚数，得，所以；（2）由于，得：所以；（3）由得：，所以.18．(1)证明见解析(2)(3)存在，【详解】（1），又分别为的中点，，A四点共面，平面面，平面，平面，又平面，又为，且，又平面平面，平面（2）因为平面，所以直线与平面所成角为，直角三角形中，，.即直线与平面所成角的大小为（3）存在点P，使得平面如图，连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为证明：因为分别为的中点，，面，在平面外，平面，由M是中点，M到面的距离为2，根据条件，的面积为，中，，得的面积为设点到平面的距离为，则，即，解得，所以点到平面的距离为.19．(1)(2)【详解】（1）用表示“均为奇数”的事件，用表示“均为偶数”的事件，则从1-8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点