2025-2026学年云南昭通一中教研联盟高二下册期中考试（A卷）数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，B=x∣yA. B. C. D.2.已知是等比数列，，，则（）A.10 B.-10 C.6 D.-63.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.4.设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则（）A. B. C. D.5.现有7张卡片，分别写上数字2，3，3，4，5，6，7.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（）A. B. C. D.6.对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（）A.越大，与的线性相关性越弱B.若，则C.若，则D.若样本点都在回归直线上，则7.已知，是随机事件，若，，则（）A. B. C. D.8.已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列的前项和为.令，则下列选项正确的是（）A.B.C.数列的前2026项和为D.数列的前项和的最大值为110.下列选项正确的是（）A.B.若样本数据的样本方差为3，则数据的方差为4C.已知随机变量，若，则D.某班要从12名候选人中选4名组成学生会，已知有4名候选人是男生，假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示候选人是男生的人数，则恰有2名男生被选到的概率为11.已知函数，记方程的根为，下列有关的结论正确的是（）A.B.C.，其中D.函数的最小值不可能为第II卷（非选择题，共92分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知曲线的一条切线方程为，则实数__________.13.由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种.14.如图所示，一张长方形光滑桌上，左侧有个小球，右侧有个小球，它们排成一条直线相向滚动.滚动规则如下：规则1：如果两个小球迎面碰撞，会立刻调头反向滚动；规则2：当小球滚到桌面边缘时，会从桌面掉落.当桌面上所有小球都掉落之后，记所有小球碰撞的总次数为fX,Y，则__________；若fX四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表：

成绩优秀成绩不优秀总计不认真完成作业认真完成作业总计（1）求；（2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值；（3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立.（1）求这人中至多有人通过第一轮的概率；（2）从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率.17.已知数列满足，且.（1）求数列的前项和；（2）记数列的前项和为.若对任意恒成立，求实数的取值范围.18.高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立）测试结果真实路况探测元件1探测元件2探测元件3有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别无障碍4251125415150有障碍5010105551055105（1）从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率；（2）从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件1和探测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望；（3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.（直接写出探测元件1、2、3其中一个，结论不要求证明）19.已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）当时，求的最小值；（3）证明：当时，有唯一零点.

数学满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先应用对数函数定义域得出集合，再应用补集及交集计算求解.解答过程：由题意，得，，所以∁RB=x所以A∩2.已知是等比数列，，，则（）A.10 B.-10 C.6 D.-6答案：C解析：思路：应用等比数列下标和性质计算求解.解答过程：因为是等比数列，所以，又因为，所以.3.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：应用二项式展开式的通项公式计算求解即可.解答过程：根据二项式展开的通项公式，第项为Tr+1令的指数，解得，即的系数为C524.设随机变量服从成功概率为的二项分布，若，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二项分布的期望和方差公式，联立已知条件，解方程组即可求出参数.解答过程：因为服从成功概率为的二项分布，且，，所以np=3np1−p=2解得.5.现有7张卡片，分别写上数字2，3，3，4，5，6，7.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用古典概型结合组合数计算求解.解答过程：从写有数字2，3，3，4，5，6，7的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为3的取法共有C2所以Pξ6.对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（）A.越大，与的线性相关性越弱B.若，则C.若，则D.若样本点都在回归直线上，则答案：D解析：思路：对于A，由的绝对值大小与和的线性相关性强弱关系可判断选项正误；对于B，由与计算公式可判断选项正误.对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由的意义可判断选项正误；解答过程：对于A，的绝对值越接近1，由于，故的值越大，与的线性相关性越强，故A错误；对于B，b=i=110xi−xy对于C，由于可得，则，当时，，则，故C错误；对于D，若样本点xi,yii7.已知，是随机事件，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题设及条件概率公式，概率加法公式可得，，联立解方程即可.解答过程：因，则，又因，，且事件与事件互斥，则，可得，从而.故，解得.8.已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先求函数导数，再分析为极大值的充要条件，最后结合充分性，必要性的定义判断选项解答过程：由已知，f′x=3x2−2mx=3若即，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，不合题意；若即，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点；若2m3=0即，综上，若为函数的极大值点，则.若，则，满足为函数的极大值点，充分性成立；若为函数的极大值点，则，即不一定成立，必要性不成立.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列的前项和为.令，则下列选项正确的是（）A.B.C.数列的前2026项和为D.数列的前项和的最大值为1答案：AC解析：思路：本题先通过数列前项和为​求通项公式​，再据此分析​并利用裂项相消法求其前项和，逐一验证选项即可.解答过程：当时，，当时，，当时，也符合，所以，，A对B错；可得，b1代入,可得1−12×2026+110.下列选项正确的是（）A.B.若样本数据的样本方差为3，则数据的方差为4C.已知随机变量，若，则D.某班要从12名候选人中选4名组成学生会，已知有4名候选人是男生，假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示候选人是男生的人数，则恰有2名男生被选到的概率为答案：ACD解析：解答过程：对于A，，，，因此，A正确；对于B，设样本数据的方差为D，则，解得，数据的方差为，B错误；对于C，随机变量，由，得，C正确；对于D，恰有2名男生被选到的概率为，D正确.11.已知函数，记方程的根为，下列有关的结论正确的是（）A.B.C.，其中D.函数的最小值不可能为答案：ABD解析：思路：利用零点存在定理判断A，由对数的运算判断BC，利用导数确定在的左侧一个小区间内递增，从而判断D.解答过程：选项A：由得，设，因单调递增，则为的唯一零点，因为g0.5⋅g选项B：由题意，所以，故，即，故B正确；选项C：若，其中，则μ=1e故ln1μ=因ln1选项D：由Hx=e设hx=x故在上单调递增，因，，即，故hμ=2>0，故，且使得在x0,μ上有，此时，在x0,μ故Hμ不是的最小值，故D正确.第II卷（非选择题，共92分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知曲线的一条切线方程为，则实数__________.答案：解析：思路：设切点为，由求出，再由函数解析式计算出，代入切线方程可求得.解答过程：，设切点为，因为切线，所以y'|x解得，（舍去），代入曲线得，所以切点为3,9−3ln3，代入切线方程解得13.由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种.答案：480解析：思路：由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果解答过程：先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，故48014.如图所示，一张长方形光滑桌上，左侧有个小球，右侧有个小球，它们排成一条直线相向滚动.滚动规则如下：规则1：如果两个小球迎面碰撞，会立刻调头反向滚动；规则2：当小球滚到桌面边缘时，会从桌面掉落.当桌面上所有小球都掉落之后，记所有小球碰撞的总次数为，则__________；若，写出满足条件的一组为__________.（小球相同，忽略其它影响小球滚动因素）答案：①.2②.解析：思路：应用新定义规则计算求解.解答过程：当左侧有1个小球，右侧有2个小球，则左侧和右侧最前面的小球碰撞一次后，左侧小球掉头滚到桌面边缘掉落，而右侧碰撞的小球掉头后与后面的小球再一次碰撞，然后两只小球掉头都滚到桌面边缘掉落，这样一共就是滚到2次，所以f1,2当左侧有1个小球，右侧有12个球，依次编号为1，2，3，⋯，12，则左侧和1号碰撞一次后，左侧小球掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞1次，1号调头与2号碰撞一次后，1号再掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞2次，2号调头与3号碰撞一次后，2号再掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞3次，3号调头与4号碰撞一次后，3号再掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞4次，...11号掉头与12号碰撞一次后，11号和12号都掉头滚到桌面边缘掉落，累计碰撞12次，所以此时有f1,12故满足条件的一组为，即fX,四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表：

成绩优秀成绩不优秀总计不认真完成作业认真完成作业总计（1）求；（2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值；（3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1），（2）（3）有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效解析：（1）由列联表知，t=80+70=150.（2）由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为，所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为．（3）零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关；由列联表得到，所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效.16.年全国青少年科技创新大赛采用两轮晋级制，参赛选手需顺利通过第一轮考核，方可获得第二轮参赛资格，两轮考核全部通过者，将正式取得代表学校参与更高层次竞赛的宝贵资格.已知小明、小华，小方位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立.（1）求这人中至多有人通过第一轮的概率；（2）从人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）记人中通过第一轮的人数为，从而有，再利用对立事件及二项分布的概率公式，即可求解；（2）根据条件，利用全概率公式，即可求解.（1）记人中通过第一轮的人数为，由题意可知，记“人中至多有人通过第一轮”为事件，则PM（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为、、，通过第二轮的事件记为，则由题意可知,,,,则所以从人中随机选出一人，通过第二轮的概率为.17.已知数列满足，且.（1）求数列的前项和；（2）记数列的前项和为.若对任意恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义即可求得通项公式，进而得出结果；（2）利用错位相减法及等比数列前项和公式求，进而解不等式即可.（1）由，则，则，又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，且所以，故Tn（2）由（1）知，，则，则=2则，由恒成立，n−1.18.高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立）测试结果真实路况探测元件1探测元件2探测元件3有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别无障碍4251125415150有障碍5010105551055105（1）从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率；（2）从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件1和探测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望；（3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.（直接写出探测元件1、2、3其中一个，结论不要求证明）答案：（1）（2）期望为.012（3）元件3解析：思路：（1）根据古典概型概率公式求解；（2）分别算出探测元件1判断正确的概率，探测元件3判断正确的概率P3=12（3）根据题意求得小汽车在无障碍的道路上减速的概率即可得到结论.（1）由题设表格中的数据，这100个路段中，探测元件2判断正确的路段有个，设“探测元件2对该路况判断正确”为事件，则PA=（2）这100个路段中无障碍的路段共有30个，在这30个无障碍的路段中，探测元件1判断正确的有25个，错误的有5个，探测元件3判断正确的有15个，错误的有15个，所以探测元件1判断正确的概率，错误的概率为，探测元件3判断正确的概率P3=1由题意得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，