2025-2026学年重庆市江津中学高二下册第一阶段（月考）数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都。第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8.小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.等于（）A.21 B.35 C.210 D.732.定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.43.某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（）A.8种 B.10种 C.12种 D.16种4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（）A. B. C. D.5.的展开式中的系数为（）A.10 B.20 C.30 D.406.已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（）A. B. C. D.7.甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（）A. B. C. D.8.关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）A.若自由放置，共有3125种不同的放法B.恰有一个盒子不放球，共有240种放法C.每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种D.将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种11.已知，（）A.当时，既有极大值，又有极小值.B.若在处取到极大值，则实数a的取值范围为C.当时，在区间内取到最小值，则实数的取值范围为D.不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是可导函数，且，则__________.13.除以7的余数为__________．14.如下图是重庆的网红打卡点—解放碑，五一节即将来临，为了迎接来自全国各地的游客，计划把重庆解放碑周围圆环形花台5个区域种花（不含中间小圆区域），现有红、橙、黄、蓝4种颜色的花可供选择，要求相邻区域不能种植同种颜色的花，则总的种植方案有__________种（用数字作答）四、解答题：本题共5题，共77分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.江津中学举办校园艺术节文艺汇演，节目单中有7个节目，其中舞蹈类节目4个，歌唱类节目3个，各类节目内部也分别不同.要求对这7个节目进行排序，回答下列问题：（1）若要求3个歌唱类节目必须排在一起，共有多少种不同的节目排序方法？（2）若要求3个歌唱类节目两两不能相邻，共有多少种不同的节目排序方法？16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值（结果用数字表示）.17.已知函数在处取得极大值（1）求a，b的值；（2）证明：时．18.紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为．（1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率；（2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率；（注：贝叶斯公式）（3）小明为了更好的通关，现有两种方案：方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取；方案二：第二次从另一个机器中抓取．比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大．19.已知函数．（1）若在定义域内不单调，求实数a的取值范围；（2）当时，若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围；（3）若存在两个不同的极值点，，，且，求实数m的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都。第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8.小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.等于（）A.21 B.35 C.210 D.73答案：B解析：解答过程.2.定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：解答过程：由图知，的图象在区间上依次单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，结合极值点的定义知，共有4个极值点.3.某班元旦晚会安排4个节目：唱歌、舞蹈、小品、魔术，其中魔术节目不能安排在第一个和第四个表演，则不同的节目顺序有（）A.8种 B.10种 C.12种 D.16种答案：C解析：解答过程：先排魔术节目，有种选择，再将其他节目排列，共有种排序方法.4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得．解答过程：某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过，超过近视率约为，不超过近视率约为，所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是．故选：C．5.的展开式中的系数为（）A.10 B.20 C.30 D.40答案：B解析：解答过程：由的展开式通项为，，所以时，，时，，可得展开式中的系数为.6.已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：求导得，直线斜率为，当直线与曲线的切线平行时，最小，此时，解得，故切点为，则的最小值为切点到直线的距离，即．7.甲、乙两支队伍进行篮球系列赛，赛制为“五局三胜”制，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，乙队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.在甲获得系列赛冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可.解答过程：比三场，甲赢的概率为；比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为；比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为;所以甲赢的概率为，所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为.8.关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：依题意将“方程恰好有4个不同的实数根”转化为“直线与函数的图象在恰好有两个不同的交点”，根据导数与最值的关系得到，解之即可.解答过程：由题意得，，因为，则，即，，也即.令，则，则方程恰好有4个实数根可转化为直线与函数的图象在恰好有两个不同的交点，，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，所以需使，即.故实数的取值范围为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：解答过程：是常数，，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．10.现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）A.若自由放置，共有3125种不同的放法B.恰有一个盒子不放球，共有240种放法C.每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种D.将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种答案：ACD解析：思路：结合组合数、排列数由分步乘法计算原理逐项计算即可求解；解答过程：对于选项A：每个小球都有5种选择，所有共有种，故A正确；对于选项B：第一步，选择一个盒子不放球，由,第二步，5个小球分成4组，分别放入4个盒子有：，所以共有种，故B错误；对于选项C：第一步选择两个盒子使得编号与小球相同，有，第二步，剩下3个球，3个盒子使得盒子编号与小球编号不相同共有2种，所以共有20种，故C正确；对于选项D：第一步，确定哪个盒子不放球，有，第二步，剩下四个盒子确定哪个盒子放两个球，即可；所有共有20种，故D正确；故选：ACD.11.已知，（）A.当时，既有极大值，又有极小值.B.若在处取到极大值，则实数a的取值范围为C.当时，在区间内取到最小值，则实数的取值范围为D.不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值答案：AD解析：思路：先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可.解答过程.当，即时，由，得或，由，得.则在和上单调递增，在上单调递减，此时在处取极大值，在处取极小值.当，即时，由，得或，由，得.则在和上单调递增，在上单调递减，此时在处取极大值，在处取极小值.当，即时，，则在上单调递增，此时无极值.对于A：当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确.对于B：若在处取到极大值，则，故B错误.对于C：当时，在处取极大值，在处取极小值.又，要使在区间内取到最小值，则，解得，故C错误.对于D：若，若使在区间内既有最大值又有最小值，则需，，，即，，，整理得，，当时，，故，此时不存在的值.若，若使在区间内既有最大值又有最小值，则需，，，整理得，，则，故，此时不存在的值.若，在区间内无最值.综上，不存在实数a，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是可导函数，且，则__________.答案：1解析：思路：根据导数的定义即可求解.解答过程.13.除以7的余数为__________．答案：2解析：解答过程：余2，余4，余1，余2，余数的周期为3，余1，除以7的余数等于除以7的余数，即为2．14.如下图是重庆的网红打卡点—解放碑，五一节即将来临，为了迎接来自全国各地的游客，计划把重庆解放碑周围圆环形花台5个区域种花（不含中间小圆区域），现有红、橙、黄、蓝4种颜色的花可供选择，要求相邻区域不能种植同种颜色的花，则总的种植方案有__________种（用数字作答）答案：240解析：思路：根据分步分类计数原理，结合种植花的不同颜色分类讨论求解即可.解答过程：区域1：4种选择；区域2：3种选择；区域3：分2种情况，情况1：区域3和区域1相同，此时区域4有3种选择，区域5有2种选择，共有（种）；情况2：区域3和区域1不同，此时区域3有2种选择，当区域4和区域1相同，区域5有3种选择，当区域4和区域1不同，区域4有2种选择，区域5有2种选择，共有（种）.综上，总种植方案数：（种）.四、解答题：本题共5题，共77分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.江津中学举办校园艺术节文艺汇演，节目单中有7个节目，其中舞蹈类节目4个，歌唱类节目3个，各类节目内部也分别不同.要求对这7个节目进行排序，回答下列问题：（1）若要求3个歌唱类节目必须排在一起，共有多少种不同的节目排序方法？（2）若要求3个歌唱类节目两两不能相邻，共有多少种不同的节目排序方法？答案：（1）720（2）1440解析：（1）因为3个歌唱类节目必须排在一起，用捆绑法，将歌唱类节目捆绑在一起，共有（2）因为3个歌唱类节目不能相邻，用插空法，先将舞蹈类节目进行排列共有种，形成五个空，选三个空将歌唱类节目排列，共有种，所以一共有16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值（结果用数字表示）.答案：（1）10（2）（3）1485解析：思路：（1）根据题目条件，令，化简可得的值.（2）根据题目条件，令，结合等比数列的前项和化简可得结果.（3）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值可得结果.（1）令，则原式可化为，解得.（2）令，则原式可化为，所以.（3）是中的系数，中的系数为，所以.17.已知函数在处取得极大值（1）求a，b的值；（2）证明：时．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）对函数求导，利用极值点处导数为0结合已知条件构造方程组，解方程组求a，b的值；（2）利用（1）结论转化结论为，构造函数，求导并分析函数单调性，由函数单调递增得出，进而证明结论．（1）函数求导得，已知函数在处取得极大值，，解得．此时，令，解得或，当时，，单调递增；当或时，，单调递减；在处取得极大值，极大值为，符合题意，．（2）由（1）知，则需证明，令，求导得，当时，，则，故在单调递增，，，即，，命题得证．18.紫金天街抓娃娃机游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为．（1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率；（2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率；（注：贝叶斯公式）（3）小明为了更好的通关，现有两种方案：方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取；方案二：第二次从另一个机器中抓取．比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大．答案：（1）（2）（3）方案二解析：思路：（1）把“首次抓取抓到良品”拆分成两个互斥事件，分别求出对应机器及相应机器抓取良品的概率，再利用全概率公式计算求解；（2）先计算总的通关概率，再计算首次选乙机器且通过的概率，再代入贝叶斯公式得出条件概率；（3）分别计算方案一和方案二的概率，再通过比较得出结论．（1）设选取甲机器为事件，则，选取乙机器为事件，则，抓到良品娃娃为事件，则，，由全概率公式．（2）两次选机器、抓取均互相独立，则两次抓取良品概率相同：；首次选乙，第一次抓到良品，第二次独立选机器抓良品的概率为：；由贝叶斯公式计算条件概率得：．（3）方案一：两次选取同一机器，抓取相互独立，概率为：，方案二：两次选取不同机器，抓取相互独立，概率为：，，，故方案二的通关概率更大．19.已知函数．（1）若在定义域内不单调，求实数a的取值范围；（2）当时，若存在，使