2025-2026学年重庆市铁路中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学（考试时间120分钟，满分150分）一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则（）A.2或6 B.2或3 C.3 D.62.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-23.用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A.24 B.30 C.40 D.604.某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（）A. B. C. D.5.在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（）A. B. C. D.6.若直线是曲线与曲线的公切线，则（）A.0 B.1 C. D.7.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列选项正确的是（）A.展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项B.C.D.当时，除以8的余数为110.年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B.若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为C.如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为D.每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.当时，函数在上单调递增B.当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0C.若函数存在两个极值，则实数的最大值为D.当时，若，则的最小值为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.12.随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则_____13.如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________.14.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，在及处取得极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.16.（1）在的展开式中，求：①第4项的二项式系数；②含的项的系数．（2）求展开式中的常数项．17.某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.18.已知函数（且）（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围．19.已知函数，其中．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；（3）若R，对任意的恒成立，求的最小值．

数学（考试时间120分钟，满分150分）一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则（）A.2或6 B.2或3 C.3 D.6答案：A解析：思路：根据组合数性质解方程即可.解答过程：由题意可得或，解得或.经检验均满足题意.故选：A.2.设是可导函数，且，则（）A.2 B. C.-1 D.-2答案：B解析：解答过程：，即.3.用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A.24 B.30 C.40 D.60答案：A解析：解答过程：试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A．考点：主要考查分步计数原理的应用．点评：特别注意偶数其个位必定是偶数字．4.某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，设小明答对试题为事件，则，，，，，，由全概率公式得：，.5.在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：事件：甲、乙选择的专题不同，甲有3种选法.乙有2种选法，丙有3种选法，所以.事件：甲、乙不同且乙、丙相同.先选乙的专题，有3种.丙的选法和乙相同，甲有2种选法，所以，因此.6.若直线是曲线与曲线的公切线，则（）A.0 B.1 C. D.答案：A解析：思路：设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值.解答过程：设，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，即，由题意得，即，解得，即与的公切线为，，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，即，由题意得，即，解得，故选：A.7.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，因为，所以在上单调递减，因为，且变形为，所以，因为在上单调递减，所以且，解得，即不等式的解集为．8.已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：有两个极值点等价于有两个不相等的实数根，构造函数，再求出导函数得出单调性结合函数值域得出参数范围.解答过程：令，则有两个不同的根．，所以或，因为，所以的左右变号是极值点，所以有一个根，设，，当单调递减；当单调递减；当单调递增；当，当，所以与有一个交点，所以，但是当时，，即得，所以的左右不变号不是极值点，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列选项正确的是（）A.展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项B.C.D.当时，除以8的余数为1答案：BCD解析：思路：对于A直接用二项式系数的性质判断；对于B用赋值法可得；对C可对二项式两边求导，然后再赋值可得；对于D则将按二项式展开式进行判断可得.解答过程：对于A：由二项式展开式中的二项式系数为，所以时二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故A不正确；对于B：令，可得.再令，得，所以，所以B正确；对于C：对两边求导，得，再令，得，所以C正确；对于D：当时，，而，即除以8的余数为1，所以D正确.故选：BCD.10.年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B.若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为C.如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为D.每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是答案：BC解析：解答过程：对于A：每个人的工作选择有种，所以不同的方法数为，故A正确；对于B：每项工作至少有人参加，需要将名同学分成组，其中有一组有人，先从名同学中选出人组成一组，再将这组安排到个不同的工作岗位上，所以不同的方法数为，故B错误；对于C：将人分成人，人，人的组有种分法，将人分成人，人，人的组有种分法，所以名同学全部被安排的不同方法数为C51对于D：若会议记录仅有人选择，则安排方案有种，若会议记录有人选择，则安排方案有种，所以不同安排方案的种数为，故D正确.11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.当时，函数在上单调递增B.当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0C.若函数存在两个极值，则实数的最大值为D.当时，若，则的最小值为答案：ABD解析：思路：对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.解答过程：对于A，当时，，则，设，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即函数在上单调递增，故A正确；对于B，当时，，则，设，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即函数在上单调递增.若存在，使不等式成立，等价于存在，成立，也即成立，由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增，故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确；对于C，由可得，因函数存在两个极值等价于有2个变号零点，由，可得，设，则，则当时，；当时，，故在上单调递减；在上单调递增，故，且当，当，则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点，即得，也即，故没有最大值，即C错误；对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数，因，且，则，由可得，即，因是上的增函数，故，又由，故，设，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上.12.随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则_____答案：0.3##解析：思路：根据给定的数表，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答.解答过程：由分布列的性质得，，解得，所以.故0.313.如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________.答案：解析：思路：根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集．解答过程：由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，故当，时，，当时，.原不等式等价于或，则或.所以不等式的解集为.14.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________.答案：42解析：思路：先求出1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花的方法数，再减去只栽种两种花的情况，即可得答案.解答过程：先给1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花，不同的栽种方法有种.只栽种两种花的情况有.故有公共边的部分不栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种的方法数有种四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，在及处取得极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.答案：（1）（2）在上的最大值为，最小值为.解析：思路：（1）求出函数的导数，根据极值点得导数零点，结合韦达定理可求；（2）根据（1）的结果得到在上的单调性，从而可得最值.（1），因为在及处取得极值，故有两个解及，故，故，此时，当或时，；当时，，故在及处取得极值，符合题设，故.（2）由（1）可得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，，，.故在上的最大值为，最小值为.16.（1）在的展开式中，求：①第4项的二项式系数；②含的项的系数．（2）求展开式中的常数项．答案：（1）①35，②280；（2）-405解析：思路：（1）通过二项式系数的概念，二项展开式的通项求解；（2）通过多项式乘法求解.解答过程：（1）①第4项的二项式系数：；②二项式的通项为，令，则含的系数为：；（2）当因式取时，因式取含的项，此时常数项为，当因式取时，因式取含的项，此时常数项为，所以当时，展开式中的常数项为.17.某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.答案：（1）甲；（2）分布列见解析.解析：思路：（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可；（2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列.（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，丙进入决赛的概率为，而，则，所以甲进入决赛的可能性最大.（2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率，整理可得，解得或，而，所以.则，所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为，随机变量的可能取值有0，1，2，3，所以，，，，所以随机变量的分布列为：012318.已知函数（且）（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求出，分、、、讨论可得答案；（2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案．（1）因为，当时，时，所以在单调递减；时，，所以在单调递增；当时，时，，所以在和单调递增，时，在单调递减；当时，，所以在单调递增；当时，，所以在和上单调递增，时，在单调递减；（2）当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点；，所以在上有唯一零点，符合题意；当时，由（1）可知为极大值点，且，所以不符题意；当