2024-2025学年湖南长沙岳麓实验中学高二下学期期末数学试题及答案

3．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC,CC1,BB1的中点，则下列结论中正①直线D1D与直线AF垂直；②直线A1G与平面AEF平行；③点C与点G到平面AEF的距离相等；④平面AEF截正方体所得的截面面积为.5．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为1，点C1关于平面ABCD对称的括边界）的点P满足PC1⊥PC2，记直线AP与平面ABCD所成线面角为θ.当6．已知f(x)=x3−3x，函数y=f(x)的定义域为a,b(a,b∈Z),y=f(x)的值域为a,b的子集，则这D．函数f(x)的零点为+kπ(k∈Z)A．fx在区间2,3内存在零点B．0是fx的极小值点C．fx在区间0,1内存在极大值D．fx在区间(−1,0)上单调递减A．函数gx是奇函数B．函数gx的值域是{0,1,2}C．函数gx的图象关于直线x=对称13．已知a,b,c均为正实数，函数fx=x2+(a+2b)x+lnx.（1）若fx的图象过点1,2，则+的最小值为；（2）若fx的图象过点(c,ab+lnc)，且(3a+b)t≥c恒成立，则实数t的最小值为.的周长最小时，△APN的外接圆的方程为.15．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=（1）求证：FH//平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B−DE−C的大小.边形沿AE折叠成四棱锥P−ABCE.（1）已知M为AB的中点，求证：AE⊥PM；4/417．已知函数fx=(x2−2x)ex.（1）求fx的单调区间；（2）当x<0时，fx<ax恒成立，求实数a的取值范围；（1）证明：DE⊥平面ACD；（2）设F是AB的中点，点G在棱BC上，且EF//平面ADG，求二面角E−AD−G的余弦值.【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；排列、组合的实际应用【知识点】导数的几何意义【知识点】棱柱的结构特征【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】根据向量的数量积求模公式和数量积的运算法则，进而得出向量的模长.【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：因为矩形AA1CC1内（包括边界）的点P满足PC1⊥PC2，所以点P在矩形AA1CC1内的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆在矩形AA1CC1内的半圆，且△PAC是等腰直角三角形，使用θ=∠QAC所以BD∥EN，即B1D1∥EN，同理可得∠C1GF=，即△C1FG为等腰直角三角形，因为∠MFB1=∠C1FG=，∠MB1F=，则△MB1F为等腰直角三角形，又因为EB1⊥平面ABCD，MB1，FB1【分析】由题意可知：点P在矩形AA1CC1内的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆在矩形AA1CC1【知识点】利用导数研究函数最大（小）值【知识点】等差数列的前n项和；二倍角的余弦公式∴×(−2）sin（a7+a3）⋅sin（a7−a3）=−sin（a3+a7∵sin（a3+a7）【分析】利用数列{an}为等差数列结合二倍角的余弦公式，再利用等差数列项和sn取得最小值，进而得出，再利用等差数列的通项公式，进而求【知识点】球的表面积与体积公式及应用；余弦定理SC=1，在△SBC由余弦定理得：cos∠SBC=，则：sin∠SBC=棱柱AED−BSC的外接球问题，易得四棱锥S−ABCD的高h与直三棱柱AED−BSC的高相等且等于【知识点】正弦函数的性质；函数的零点则f(x)的单调递增区间为，的单调增区间即可判断；对于D：直接代入f(x)即可判【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理在区间(2,3)内，不存在上述使f(x)=0的x值，所以f(x)在区间(2,3)内不存在零点，故A错误；所以0是f(x)的极小值点，故B正确；是极小值点即可判断B；对f(x)求导．在(0,1)内，分析f'(x)各项正负，判断是否存在极大值即可判断C；在(−1,0)上，分析f(x)正负，再分析f'(x)各项正负，得f'(x)<0，f(x)单调递减即可判断D.【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值可知f(x)在0，1内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，【分析】根据题意结合极值点的性质列式求a,b，并【知识点】对数的概念与表示【知识点】圆的一般方程 【分析】利用四边形周长公式结合勾股定理得出四边形P再利用代入法得出三角形△APN的外接圆的方程。又因EF//AB且EF=AB，则有OH//EF且OH=EF，故得平行四边形EFHO，则有FH//OE，因FH⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，故得FH//平面BDE.（2）解：由（1）得：EF//OH，OH⊥BC，则有EF⊥BC，因EF⊥FB，FB∩BC=B，FB，BC⊂平面BFC，故EF⊥平面BFC，正方向建立空间直角坐标系.【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定段相等，再结合平行四边形的定义，从而判断出四边形EFHO为结合线线平行证出线面平行，从而证出FH//平面EDB.（2）由（1）结合线线垂直和线面垂直的关系，进而证出线面垂直.:ΔADE为等边三角形，:【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角中点，所以MN//BE，所以AE⊥MN，再利用线线垂直证出线面垂直，所以AE⊥平面PMN，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出AE⊥PM。fx=(x2−2x)ex定义域为R，求导可得f'x=(x2−2ex=(x+2)(x−vx，则函数fx的单调递增区间为(−∞,−2,（2）解：当x<0时，f(x)<ax等价于则函数gx在(−∞,0)上单调递减，a≤g0=−2；由（1）可知，fx在0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，作出函数fx的大致图象，如图所示：同理可得曲线y=fx在x=2处的切线为l2:y=2e2x−4e2，设mx=fx−−ex=(x2−2x)ex+ex(3−1<x<2，所以m'x=(x2−2)ex+e，所以mx在3−1,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，所以fx≥−ex在x∈(3−1,2上恒成立，【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程（2）利用分离参数整理不等式，构造函数，求导并结合导数造函数，结合不等式性质证明即可.（1）由fx=(x2−2x)ex，求导可得f'x=(x2−2)ex=(x+2)(x−2)ex，所以fx的单调递增区间为(−∞,−2,2,+∞)，单调递减区间为−2,（2）当x<0时，f(x)<ax等价于所以gx在(−∞,0)上单调递减，所以a≤g0=−2.（3）当x<0时，fx=x2−2x)ex由（1）可知，fx在0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，作出函数fx的大致图象，如图：同理可得曲线y=fx在x=2处的切线为l2:y=2e2x−4e2，设mx=fx−−ex=(x2−2x)ex+ex(3−1<x<2，所以m'x=(x2−2)ex+e，所以fx≥−ex在x∈(3−1,2)上恒成立，极小值点.(ⅰ)当a=时，f(x)在R上单调递增，无极值点；在(lna，+∞)上单调递增，所以x=−1为f(x)的极大值点，【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值