2025-2026学年陕西省咸阳市薛录高中2026年普通高等学校招生全国统一考试预测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，A=−2,−1,−12,0,1A. B. C.−12,0,122.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.3.某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若P(2<X≤2.05)=0.4，且，则下列描述正确的是（）A.， B.，C.， D.，4.已知，且，则()A.2 B.3 C. D.5.已知数列满足（），则（）A. B. C. D.6.在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.7.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以点F为圆心作圆与l相切，过抛物线C上一点P作圆F的两条切线，切点分别为M，N.若的面积为，则点P到准线l的距离为（）A. B. C.或 D.或48.已知函数，gx=b(x−b)2+x(x−b)A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数fx=sin2xA.B.函数在上单调递增C.函数在内有两个零点D.函数的最小值为10.已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有()A.若点P到直线的距离为3，则B.若的中点M的坐标为，则直线l的方程为C.若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则D.记的中点为N，则点N的轨迹方程为11.已知数列满足，，则下列说法正确的有（）A.B.若数列满足，则数列为等比数列C.D.若数列满足，其前n项和为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________.13.已知（）.若的展开式中的系数为，则__________.14.已知函数fx=lnx+x+axx+1（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，成等差数列，求.16.如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.17.某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立.（1）若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率；（2）求X的分布列与数学期望；（3）若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明.18.已知双曲线E：的一个焦点为，渐近线方程为，过点F作倾斜角为（）的直线，将绕点F逆时针旋转角（）得到直线.设，与E分别交于A，B和C，D两点，，的斜率分别为，，P为的中点，Q为的中点，O为坐标原点.（1）求E的方程；（2）设将直线逆时针旋转角得到直线，若，证明：A，B，C，D四点位于E的同一支上；（3）若，且，求.19.已知函数fx=ln（1）当时，求的单调区间和极值.（2）设gx=f′x−2x，在上存在两个不同的零点①证明：对满足，的非零常数m，gx1+②当时，证明：k=1n

数学（考试；试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，B=x|2x2A. B. C.−12,0,12答案：A解析：解答过程：解得或，即B={x∣x∴.又∵A=−2,−1,−12,0,12∴A∩(2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，即，设，则，故上式化为，化简得，即2a=−b+3−2b=3.某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：解答过程：∵直径服从正态分布，∴正态分布曲线的对称轴为，.∵，∴P(又∵，根据正态分布的对称性，点与点关于对称轴对称，∴，解得，即.综上可得，，故选项C正确.4.已知，且，则()A.2 B.3 C. D.答案：A解析：思路：先利用已知条件求出，再通过二倍角公式求出tanπ8+α解答过程：由，得，故sinπ4+由cosπ4+因此tanπ设，则，故.由二倍角公式，解得或.又，故，则A=π8+α2∈tan7π85.已知数列满足（），则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分为偶数与奇数进行讨论，结合三角函数诱导公式可求出及，即可得解.解答过程：当为偶数时，an+an故an故；当为奇数时，，an故an故a2故.6.在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：在中，，，由三角形面积公式得S△ABC=1由余弦定理得AC2=因为平面ABC，四面体体积，代入解得，以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴，得各点坐标：，，，P(3,−1,2)，BC⃗设平面的法向量为，则n⋅BC→=2y=0n⋅PB又向量AC→=(−3设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，sinθ=|cos7.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以点F为圆心作圆与l相切，过抛物线C上一点P作圆F的两条切线，切点分别为M，N.若的面积为，则点P到准线l的距离为（）A. B. C.或 D.或4答案：D解析：思路：利用三角形面积公式求，再利用正弦定理和勾股定理计算的长度，最后需保证.解答过程：如图所示，由题意可知：抛物线焦点坐标为，所以圆心为，圆半径为，圆的标准方程为，则，所以，则∠MFN=π若，则是等边三角形，所以，，此时由正弦定理得：PM=PF=PM若，则，所以是等边三角形，由正弦定理得：，则，所以PF=PM因此由抛物线的定义可知点P到准线l的距离为或4.8.已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值.解答过程：可看成是平移得到，所以对称中心为.，令，则，所以为奇函数，对称中心为.，的对称中心为.和有相同的对称中心,∴a=bb=1则直线为，令，解得，由题意知两点在直线上，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()，，则下列说法正确的有()A.B.函数在上单调递增C.函数在内有两个零点D.函数的最小值为答案：ABC解析：思路：先利用求出参数，再根据三角函数的单调性、零点及和差化积公式逐一分析选项.解答过程：由f(0)=sinφ−π6=−此时.令()，解得().当时，单调递增区间为，故B正确.令，得()，即().在内，时，时，共2个零点，故C正确.fx则y=由和差化积公式，得y=2其最小值为，故D错误.10.已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有()A.若点P到直线的距离为3，则B.若的中点M的坐标为，则直线l的方程为C.若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则D.记的中点为N，则点N的轨迹方程为答案：AB解析：思路：先根据已知条件求出椭圆方程，再分别利用椭圆的第二定义、点差法(对称点)、中点坐标代入法逐一验证选项.解答过程：由离心率及的周长为6，得，，解得，，，椭圆方程为.对于选项A，椭圆右准线为，由点到直线的距离为3，得的横坐标为1.将代入椭圆方程，得，即.所以，故A正确.对于选项B，设，，代入椭圆方程得，，两式相减得.由中点，得，，代入得直线斜率，故直线方程为，即，故B正确.对于选项C，设，，则，斜率，，故.由椭圆方程得，，代入化简得，故C错误.对于选项D，设，而，则，代入椭圆方程得，整理得，故D错误.11.已知数列满足，，则下列说法正确的有（）A.B.若数列满足，则数列为等比数列C.D.若数列满足，其前n项和为，则答案：ACD解析：思路：对于A，代入递推公式计算；对于B，由推出，根据等差数列定义证明；对于C，根据B选项是等差数列求出的通项公式，再根据等差数列前项和公式求解；对于D，利用裂项相消法求和.解答过程：对于A，由得，，所以，A正确；对于B，由得，所以，所以，所以，所以，所以数列是等差数列，不是等比数列，B错误；对于C，由B选项可知，又，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，C正确；对于D，由C选项可知，，所以cn所以，又单调递增，当时，，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________.答案：解析：思路：根据平面向量的线性运算求解的表达式，通过对比系数求得正确答案.解答过程：由，得.，故.设()，则..代入的表达式，得BE=−AB与对比系数，得，.因此，m−213.已知（）.若的展开式中的系数为，则__________.答案：解析：思路：先由的展开式中的系数为，求出，令，则，利用赋值法求解即可.解答过程：二项式展开的通项公式为：，令，则，因为的展开式中的系数为，所以，即，即，令，则，则，令得到，①令得到，②令得到，；①②得，即，①②得，即所以.14.已知函数fx=lnx+x+axx+1（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角答案：①.②.解析：思路：当求出切点坐标和切线斜率，再用点斜式写出方程即可；对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，由导数的几何意义，等价于对所有恒成立，再分离参数求解即可.解答过程：若，则fx=可得f′x=1x所以在点处的切线方程为y−12=7因为对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，所以图象上的任意两点A，B连线的斜率恒成立，由导数的几何意义，等价于f′x=即a>−令gx因为gx当且仅当时取等号，有最大值.所以，即a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，成等差数列，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得解；（2）由等差数列性质结合余弦定理计算可用表示出、，即可用余弦定理求出、，再利用同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得.（1）由题可知，即，由正弦定理将边化为角可得，则cosA整理得，即sinA−C=sin若，则，与矛盾，不符合题意；若，则2A−C+综上可得：；（2）由，，成等差数列，则，即由余弦定理可得，即有，整理得，即，则，故cosB，由，则、，故sinB=1−故cosB16.如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）逐步求证、平面、平面即可；（2）以为原点建系，设PM=λPC=2λ（1）因为，，故，，因为，，所以，所以，，因为，所以，又，所以，在直角梯形中CD=5−1则，则，因为，，所以，则，则，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面；（2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则B2,0,0则CE=−2,32,1设PM=λPC则BM=则BM⋅CE=−22λ分别设平面和平面的法向量为，则HB⋅m=2令，则m=0,2,−5则cosm则二面角的正弦值为1−75817.某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立.（1）若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率；（2）求X的分布列与数学期望；（3）若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明.答案：（1）（2）的分布列为：其中；（3）证明见解析.解析：思路：（1）利用二项分布求解即可；（2）对变量进行转换，用n次抽奖中抽到10元券的次数进行转换求解；（3）作差法进行比较，注意不同项的正负关系.（1）设该顾客抽得的奖券金额总和30元为事件，则为四次抽奖中，10元和5元各有2张，则PM（2）不妨设为n次抽奖中抽到10元券的次数，则，且X=10Y+5由题意可知，可能的取值为：，对应的取值为，所以的分布列为：PX=5n+5因为，所以EX=即：数学期望EX（3）由题意得：事件为前两次都抽到5元券，故PA=事件为抽到10元券的总次数不少于2次，即：，故PB事件表示前两次都抽到5元券，且10元券总次数不少于2次，即：后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次，设后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次为事件，则PAB=P由条件概率公式得：PA要证PA|B<P即证：1−1−左边减右边合并化简得：p2因为，，所以−2n+3+p当，时，−2n+3+pn−1所以−2n+3+p18.已知双曲线E：的一个焦点为，渐近线方程为，过点F作倾斜角为（）的直线，将绕点F逆时针旋转角（）得到直线.设，与E分别交于A，B和C，D两点，，的斜率分别为，，P为的中点，Q为的中点，O为坐标原点.（1）求E的方程；（2）设将直线逆时针旋转角得到直线，若，证明：A，B，C，D四点位于E的同一支上；（3）若，且，求.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据条件列方程组求解；（2）求出，，与双曲线方程联立利用韦达定理以及