浙江省杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测试题 数学 含答案

学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：．本试卷满分分，考试时间分钟．．答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上．．回答选择题时，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题区内．答案写在试题卷上一律无效．．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（）A．B．C．D．3．已知函数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．以，为直径的圆的方程是（）A．B．C．D．5．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．6．已知是函数的极小值点，则（）__________A．B．C．D．7．设，是函数的两个不同的零点．若，则（）A．B．C．D．8．从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知事件，的对立事件分别记为，，若，，，则（）A．事件与互斥B．C．D．10．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（）A．B．C．D．．在区块链中，常用椭圆曲线进行加密．已知椭圆曲线，则（）A．曲线关于轴对称B．曲线与轴有两个交点C．曲线上点到轴的最小距离不小于D．曲线上点到原点的最小距离为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共分．1230个面包分给5个人，使得每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的4倍，则最小的一份为__________．13中，，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为．若，则__________．14．已知空间向量，，满足，，，，，的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1513分）已知空间向量，，设函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的值域．1615分）平面，，，，．（1）证明：；（2）若，（i）设，点到直线的距离为3，求的值；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．1715分）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，．（1）若点是上的动点，求的最小值；（2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，（i）若，求直线的方程；（ii）求的取值范围．1817分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：曲线是轴对称图形；（3）若，恒成立，求的最大值和的最小值．1917分）口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分．（1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为，（i）求；（ii）求；（2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：．学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学学科参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．12345678CBCADDBB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．9．BD10．ABC．ACD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共分．12．213．14．四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．151）因为，所以的最小正周期为；7分（2）当时，，则，所以．13分161）因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．所以．5分（2）因为，所以，如图建系直角坐标系．所以，，，，．（i）因为，，则直线的一个单位方向向量为，点到直线的距离，解得．10分（ii）已知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，取．所以．15分171）设，则，所以，即当时，；5分（2）设与联立，有，由，得，设，，则，，得，则，10分（i）当时，，直线的方程为；13分（ii）因为直线，存在斜率，所以，故，所以，即的取值范围．15分181）由题知，又，，所以切线方程为，即．4分（2）令，则，所以曲线关于直线对称；8分（3i）先求的最小值由题知，令；由于关于直线对称，故只需考虑即可．则，令，则，由，得，．在上单调递增，在上单调递减，，所以当，，，单调递增，所以．即的最小值为．13分（ii）再求的最大值．由题意，，恒成立，令，，因为，所以，即，即，下面证明时，恒成立，易知关于对称，故考虑即可，；；在必有一解，且在递减，在递增．又，所以，从而．即，．所以的最大值为．17分191）恰好得2分为第一次取到黄球，或者第一次与第二次均取到红球，故恰好