矩阵的秩及其求法矩阵秩求法_第1页
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矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿1第1页，共17页。优选矩阵的秩及其求法矩阵秩求法第2页，共17页。31.

k

阶子式定义1

设在A中任取k行k列交叉称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念第3页，共17页。4设，例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k

阶子式。第4页，共17页。52.

矩阵的秩设，有r

阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，第5页，共17页。6规定：零矩阵的秩为0.注意：(1)

如R(A)=r，则A

中至少有一个r

阶子式所有r+1

阶子式为0，且更高阶子式均为0，r是A

中非零的子式的最高阶数.(2)

由行列式的性质，(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n

,且则R(A)=n.反之，如R(A)=n,则因此，方阵A

可逆的充分必要条件是R(A)=n.第6页，共17页。7二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1设为阶梯形矩阵，求R(B)。解，由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。第7页，共17页。8例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。第8页，共17页。9如果求a.解或例2

设第9页，共17页。10则例3第10页，共17页。112、用初等变换法求矩阵的秩定理2

矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

即则说明：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一都等价于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为所以可以用初等变换化A为阶梯矩阵来求A的秩。第11页，共17页。12例4解R(A)=2

，

求第12页，共17页。13例5第13页，共17页。14三、满秩矩阵称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A为n阶方阵时，定义3第14页，共17页。15定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理第15页，共17页。1

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