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高数曲线积分与曲面积分格林公示及其应用演示文稿第一页，共28页。复连通区域单连通区域DD连通区域第二页，共28页。格林公式第三页，共28页。边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域

总在观察者的左边.第四页，共28页。证明:yxOabDcdCE第五页，共28页。同理可证yxOabDcdCE第六页，共28页。D两式相加得第七页，共28页。D第八页，共28页。GDFCEAB由(2)知第九页，共28页。GDFCEAB格林公式的实质：沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系.格林公式也可以写成第十页，共28页。xyOLAB

解（取正向的边界曲线）引入辅助曲线：第十一页，共28页。解则应用格林公式,有

xyO第十二页，共28页。解第十三页，共28页。xyOLyxo由格林公式知应用格林公式,得第十四页，共28页。xyo(注意格林公式的条件)(其中l的方向取逆时针方向)第十五页，共28页。利用格林公式计算平面图形的面积第十六页，共28页。解第十七页，共28页。GyxOBA曲线积分与路径无关的条件第十八页，共28页。证明充分性由格林公式直接得证

.第十九页，共28页。下面证明条件(1)是必要的.用反证法.第二十页，共28页。由格林公式及二重积分的性质有这与假设相矛盾，即条件(1)是必要的.所以第二十一页，共28页。二元函数的全微分求积第二十二页，共28页。证明则必有从而有由定理的条件，有即条件(2)是必要的.先证必要性.第二十三页，共28页。再证充分性.下面证明第二十四页，共28页。由偏导数的定义，有由(3)式，得第二十五页，共28页。所以由定积分中值定理，得因此得到第二十六页，共28页。同

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