初高中数学暑假衔接材料：第07讲 不等式及其性质、不等式的解集（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第07讲不等式及其性质、不等式的解集内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：作差法比较实数与代数式的大小题型2：不等式基本性质的正误辨析题型3：运用不等式性质证明简单不等式题型4：一元一次不等式及不等式组的求解与解集表示题型5：单绝对值型不等式的解法题型6：含两个绝对值的不等式的解法（零点分段法）题型7：数轴上两点距离公式与中点坐标公式的应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航不等式的定义不等号不等式的解集解不等式不等式的基本性质解集的数轴表示1．理解不等式的定义，认识常见不等号，能根据实际数量关系列出不等式．2．理解不等式的解、解集的概念，会区分不等式的解与解集，能判断一个数是否为不等式的解．3．掌握不等式的三条基本性质，重点掌握两边同乘（除）负数时不等号方向改变的规则，能正确对不等式变形．4．会在数轴上表示一元一次不等式的解集，能根据数轴写出对应的不等式解集．5．能运用不等式性质化简、求解简单一元一次不等式，结合实际问题列出不等式并求解．学习重点：等式的基本性质、利用等式性质进行恒等变形、一元一次等式的求解．学习难点：等式变形中等价性判断、含参数等式的分类讨论、结合实际情境构建等量等式模型．知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01两个实数大小的比较如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反过来也对．这个基本事实可以表示为：．从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．即时即练已知，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．与有关【答案】A【解析】，故知识点02不等式的性质性质性质内容注意对称性传递性可加性可乘性的符号同向可加性同向同正可乘性可乘方性同正即时即练已知，则下列不等式不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，对于A，，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，则，故C正确；对于D，，则，所以，故D正确．知识点03不等式（组）的解集一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．注：（1）不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质．（2）注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集．（3）不等式的解与解集的区别与联系①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的解是不等式解集中的一个；②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式的解．（4）不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集是；每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是．即时即练若关于的不等式组解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，即，又关于的不等式组解集为，所以，即，解得或，所以实数的取值范围是.故选：D知识点04绝对值不等式（1）绝对值不等式的概念一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，都是绝对值不等式．注：①数轴上表示数的点与原点的距离称为数的绝对值，记作．②绝对值不等式的几何意义为数轴上与原点的距离大于的点．（2）绝对值不等式的解集①当时，关于的不等式的解集为；②关于的不等式的解为，因此解集为．即时即练不等式的解集为______．【答案】【解析】由不等式可得，即不等式的解集为.知识点05数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式一般地，如果实数在数轴上对应的点分别为A，B，则线段AB的长为，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为，则，这就是数轴上的中点坐标公式．即时即练在数轴上，已知，则__________．【答案】5【解析】由题意，在数轴上，，∴故答案为：5.

题型1：作差法比较实数与代数式的大小【典例1-1】已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系.【解析】，当时，，所以，即，当时，，所以，即，当时，，所以，即，综上，当时，；当时，；当时，.【典例1-2】已知，，，判断M，N的关系?【解析】由.①当时，，即；②当时，，即；③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即.综上所述，当或时，；当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，.【变式1-1】（2026·高一·广西河池·期中）比较与的大小.【解析】【变式1-2】试比较下列各数的大小，并说明理由：(1)与；(2)与．【解析】（1）理由：，由于，且所以，即，因此.（2）理由：因为，所以即得，即，又，故.【变式1-3】（2026·高一·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系.【解析】由，则.题型2：不等式基本性质的正误辨析【典例2-1】（2026·高三·北京·阶段检测）已知，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，当，，时，，故A错误；对于B，当，，时，，故B错误.对于C，当，，时，，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确.【典例2-2】（2026·高一·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若且，则【答案】D【解析】对于A，取，满足，，则，所以，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为且，所以，，即，两边同时乘以，则，故D正确.【变式2-1】（2026·高一·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（

）A．若,则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】选项A：.又，即，即，错误.选项B：当时，满足，，错误.选项C：当时，，错误.选项D：，代入，原式.正确.【变式2-2】（2026·高一·浙江·期中）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，故A不成立；当时，满足，此时，故B不成立；当时，满足，，故，故C不成立；，，，，故成立．题型3：运用不等式性质证明简单不等式【典例3-1】已知均为正实数，且，求证：．【解析】，，，又，，故，，，，，即．【典例3-2】（2026·高一·江苏·期中）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：.【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以，又，所以，得证.【变式3-1】（2026·高一·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；(2)利用（1）的结论比较的大小；(3)证明命题：设，证明：.【解析】（1）由题意，可得不等式.证明：由，因为，可得，所以，即.（2）由，由（1）中的结论，可得，即.（3）证明：因为，根据（1）中的结论，可得，同向不等式相加可得，①，又由，同理可得，则，②综合①②，得.【变式3-2】（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，.(1)求证：；(2)求证：.【解析】（1）由，则，故，由，则，故，所以，得证.（2）由，而，所以，即，得证.题型4：一元一次不等式及不等式组的求解与解集表示【典例4-1】若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（

）.A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】由，可得：要使不等式组的解集非空，须使即：故满足条件的最大整数0.故选：C.【典例4-2】（2026·高一·山东滨州·阶段检测）若不等式组的解集是，则m的取值范围（）A． B．C． D．无法确定【答案】B【解析】因为不等式组的解集是，所以，故.故选：B【变式4-1】（2026·高一·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得.故选：D【变式4-2】若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】通过画数轴，根据解集为，判断出和的关系，得．故选：C.题型5：单绝对值型不等式的解法【典例5-1】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）不等式的解集为________.【答案】【解析】原不等式即为即，故解集为.【典例5-2】（2026·高一·云南曲靖·期末）集合的子集的个数为___________．【答案】4【解析】因为，所以的子集的个数为．故答案为：4【变式5-1】（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）不等式组的解集为__________.【答案】【解析】对于，即，可得，解得；对于，即，可得，解得；综上所述：不等式组的解集为.故答案为：.【变式5-2】（2026·高一·云南昆明·期中）不等式的解集________.【答案】【解析】，所以不等式的解集为.故答案为：题型6：含两个绝对值的不等式的解法（零点分段法）【典例6-1】（2026·高三·上海闵行·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，那么表示数轴上点到点和点的距离之和，当时，此时取得最小值，最小值为，当时，此时取得最小值，最小值为，综上所述，的最小值为.不等式的解集为，这表示的最小值要大于等于，即，当，解得；当，解得，综上所述，实数a的取值范围.故答案为：【典例6-2】（2026·高一·上海闵行·期中）不等式中，当等号成立时的取值范围是___________．【答案】【解析】由，分三类讨论：（1）当时，，所以；不符合题意；（2）当时，，所以，符合题意；（3）当时，，所以，不符合题意；综上可知，当等号成立时的取值范围是.故答案为：.【变式6-1】（2026·高一·上海·期末）对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】当不等式取等号时，当时，即，解得；当时，即，解得，不符合题意，舍去；当时，即，解得，不符合题意，舍去；当时，即，解得.综上可知，不等式取等号时，.故答案为：.【变式6-2】（2026·高一·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________．【答案】【解析】当不等式取等号时，，当时，即，解得；当时，即，解得，不符合题意舍去；当时，即，解得；当时，即，解得.综上可知，不等式取等号时，.故答案为：【变式6-3】（2026·高一·上海·期中）不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式化为：或或，解得或或，因此，所以原不等式的解集为.故答案为：题型7：数轴上两点距离公式与中点坐标公式的应用【典例7-1】（2026·高一·全国·单元测试）已知数轴上三点，，．若中点到线段中点的距离大于1，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，知，即，解得或，所以实数的取值范围是．故答案为：【典例7-2】已知数轴上，．（1）若A与C关于点B对称，求x的值；（2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围．【解析】（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴．（2）∵的中点对应的数为，∴由题意得，即，解得，∴的取值范围是．【变式7-1】已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标．【解析】，，的中点的坐标为，即．【变式7-2】已知数轴上三点，，.（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值；（2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围.【解析】（1）若是线段的中点，则，；若是线段的中点，则；若是线段的中点，则，.（2）由题意，知，即，或，解得或，实数的取值范围是.

1．（2026·高一·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，使得为假命题，则，都有为真命题，当，则，满足，当，则，满足，综上，.2．（2026·高一·上海·期末）若，则“”是“”的（

）条件.A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分【答案】C【解析】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立；必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立；因此“”是“”的必要非充分条件.3．（2026·高一·四川雅安·期末）手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0∼1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（

）A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小C．“屏占比”变大 D．变化不确定【答案】C【解析】根据题意，不妨设升级前该手机的屏幕面积为，整机面积为，，则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中为升级后增加的面积，由分数性质知，所以升级后“屏占比”变大．故选：C．4．（2026·高二·云南保山·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，，则A，B均不符合题意．因为，所以，所以，C符合题意．当，，时，，D不符合题意．5．（2026·高一·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A，若，，则，故A错误；对于B，因为，若，则，，所以，即，故B错误；对于C，因为，若，则，，，所以，即，故C正确；对于D，令，，则，，故D错误.故选：C6．（多选题）（2026·高一·江苏镇江·期末）下列不等式中成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】对于A：当时，，故A错误；对于B：因为，则，故得，故B正确；对于C：若取，，满足，因，，，显然不满足，故C错误；对于D：由，得且，因，可得，故D正确.7．（多选题）（2026·高一·河南开封·开学考试）已知，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】选项A：由得，根据正数平方的单调性，，即，A正确；选项B：函数在上严格单调递增，因，故，B错误；选项C：，由，得，，故，即，C正确；选项D：不等式两边同乘负数，不等号方向改变，由得，D错误.8．（多选题）（2026·高一·黑龙江·开学考试）若，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，当时，显然不成立，故A错误；对于B，因为，所以，即，故B正确；对于C，当满足，但是，故，故C错误；对于D，因为，所以，而，所以，故D正确.故选：BD.9．（2026·高一·上海·期中）不等式的解集是__________.【答案】或【解析】由，得或，解得或.故不等式的解集是或.故答案为：或.10．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______【答案】【解析】设展开得对比系数列方程得，解得所以因为，所以，即，两不等式相加得，即11．（2026·高一·上海金山·期末）已知，，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为，所以，又因为，由不等式的可加性得：，所以，故的取值范围是：.故答案为：12．已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______．【答案】【解析】由条件可知，，两式相加得，即．故答案为：.13．（2026·高一·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________.【答案】【解析】由，，则，则，又，则.故答案为：14．（2026·高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运