初高中数学暑假衔接材料：第09讲 均值不等式及其应用（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第09讲均值不等式及其应用内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：直接套用均值不等式求解简单最值问题题型2：运用配凑法（凑项/凑系数）构造均值不等式求最值题型3：分式型（二次/二次、二次/一次）代数式的最值求解题型4：利用“1的代换”技巧构造均值不等式求最值题型5：通过消元法转化为单变量问题求最值题型6：和、积、平方和之间的相互转化与最值求解题型7：均值不等式背景下的恒成立问题求解题型8：均值不等式在实际最值问题中的建模与应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航均值不等式均值不等式的证明均值不等式的应用1.理解均值不等式的定义，掌握算术平均数与几何平均数的概念，能用作差法和几何法证明均值不等式，了解其几何意义。2.掌握均值不等式的成立条件（一正、二定、三相等），能准确判断使用均值不等式的前提是否满足。3.熟练掌握利用均值不等式求最值的方法，理解最值定理的内容，能运用凑项、凑系数、分离常数、1的代换等常用技巧解决各类最值问题。4.能运用均值不等式证明简单的不等式，体会不等式证明的逻辑与思路。5.能从实际问题中抽象出均值不等式模型，解决与面积、周长、利润、用料最省等相关的实际最值问题。学习重点：均值不等式的内容及成立条件、均值不等式的实际应用。学习难点：“一正二定三相等”条件的严格运用、均值不等式的变形技巧。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式当且仅当“”时取“”均值不等式当且仅当“”时取“”叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有即时即练若正数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．知识点02均值不等式与最值已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”即时即练的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5

题型1：直接套用均值不等式求解简单最值问题【典例1-1】（2026·高一·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（

）A．2 B．6 C．8 D．16【典例1-2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．3【变式1-1】（2026·高一·广西崇左·期末）若，且，则的最小值为（

）A．36 B．12 C．9 D．18【变式1-2】已知，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【变式1-3】（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型2：运用配凑法（凑项/凑系数）构造均值不等式求最值【典例2-1】（2026·高一·云南普洱·期末）当时，的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【典例2-2】（2026·高一·上海·期末）若，则有（

）A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4【变式2-1】（2026·高一·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（

）A．26 B．28 C．30 D．32【变式2-2】（2026·高一·广东佛山·开学考试）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型3：分式型（二次/二次、二次/一次）代数式的最值求解【典例3-1】（2026·高一·河北承德·期末）已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【典例3-2】（2026·高一·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【变式3-1】（2026·高一·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A．9 B．1 C． D．4【变式3-2】（2026·高一·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2026·高一·湖北·阶段检测）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16题型4：利用“1的代换”技巧构造均值不等式求最值【典例4-1】（2026·高一·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2026·高一·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式4-2】（2026·高一·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（

）A．72 B．57 C．50 D．64【变式4-3】（2026·高一·福建厦门·期末）若，，且，那么的最小值是（）A． B．C． D．【变式4-4】（2026·高一·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式4-5】（2026·高一·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．1题型5：通过消元法转化为单变量问题求最值【典例5-1】（2026·高一·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________.【变式5-1】已知实数，满足，则的最大值为_____.【变式5-2】（2026·高一·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________.【变式5-3】（2026·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________．题型6：和、积、平方和之间的相互转化与最值求解【典例6-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最大值4 D．有最小值【典例6-2】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）若x，y满足，则正确的有（

）①，②，③，④A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式6-1】（2026·高一·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【变式6-2】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（）A．的最大值是 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值是题型7：均值不等式背景下的恒成立问题求解【典例7-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________．【典例7-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．【变式7-1】（2026·高一·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________.【变式7-2】（2026·高一·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________.【变式7-3】（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________.【变式7-4】设，，且恒成立，则n的最大值为___________.题型8：均值不等式在实际最值问题中的建模与应用【典例8-1】（2026·高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元．【典例8-2】（2026·高一·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________【变式8-1】（2026·高三·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________.【变式8-2】（2026·高一·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时．

1．（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2026·高一·全国·阶段检测）若，则的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）设均为正实数，且，则的最小值为（

）A．13 B．14C．15 D．164．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为.5．（2026·高二·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（

）A．a的取值范围是 B．的最小值为2C．的最大值为 D．的最小值为6．（2026·高一·四川成都·期末）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2026·高一·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（

）A．2km B．3km C．4km D．5km8．（2026·高一·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2026·高一·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价；方案丙：第一次和第二次均提价；方案丁：第一次提价，第二次降价；其中，则四个方案中提价最多的方案为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁11．（多选题）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值12．（多选题）（2026·高一·四川成都·期末）下列结论正确的是（）.A．当时，B．当时，的最大值是C．当时，的最小值是D．当时，的最大值是13．（多选题）（2026·高一·海南海口·期中）已知，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为9C．的最小值为 D．的最小值为14．已知，，，则的最小值为____．15．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______．16．（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________．17．（2026·高一·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元．18．（2026·高一·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________．19．（2026·高一·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）.(1)求a与b满足的关系式；(2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值.20．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．(1)若