初高中数学暑假衔接材料：第10讲 函数及其表示方法（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第10讲函数及其表示方法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：函数关系判断题型2：具体函数定义域求解题型3：抽象函数定义域求解题型4：同一函数判定题型5：函数表示法应用题型6：函数值与值域求解题型7：待定系数法求解析式题型8：换元配凑法求解析式题型9：方程组法求解析式题型10：分段函数求值题型11：分段函数值域与最值04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的定义函数的三要素区间的表示函数的表示方法分段函数函数的定义域1.理解函数的定义，明确函数的三要素（定义域、值域、对应关系），能准确判断两个函数是否为同一函数。2.掌握区间的概念与表示方法，能熟练进行数集与区间形式的相互转化。3.掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法，能根据不同问题情境选择恰当的表示方法刻画函数。4.理解分段函数的概念，能求解分段函数的函数值、定义域与值域，能绘制简单分段函数的图像。5.掌握函数定义域的求解规则，能根据函数解析式、实际问题背景准确求解函数的定义域。学习重点：函数的概念与三要素，函数的三种表示方法，函数定义域的求解，分段函数的理解与应用。学习难点：函数概念的抽象理解，同一函数的判断，复杂函数定义域的求解，分段函数的图像绘制与综合应用。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的概念1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．3．对应关系除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．即时即练已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（

）A． B． C． D．知识点02同一个函数1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数．即时即练下列函数中哪个与函数是同一个函数（

）A． B． C． D．知识点03常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数即时即练函数的定义域为（

）A． B．或C． D．或或知识点04函数的表示法函数的表示法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．即时即练根据表中数据，可得__________.x1234f23414123知识点05分段函数1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的．（3）分段函数的图象要分段来画．即时即练已知函数．(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域．

题型1：函数关系判断【典例1-1】（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数y=fx的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定【典例1-2】下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函数的是（）A．，对应关系B．，对应关系C．，对应关系D．，对应关系【变式1-1】（2026·高一·上海·阶段检测）函数y=fx的解析式为，值域为，则符合要求的函数fx的个数为（

）A．1个 B．2025个 C．2835个 D．2026个【变式1-2】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（

）A．B．C．D．【变式1-3】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（

）A． B． C． D．题型2：具体函数定义域求解【典例2-1】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【典例2-2】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式2-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．（3，4）【变式2-3】（2026·高一·山西阳泉·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．题型3：抽象函数定义域求解【典例3-1】（2026·高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C．[1，3] D．(1，3]【变式3-1】（2026·高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知y=fx定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【变式3-2】（2026·高一·江西九江·开学考试）已知函数y=fx的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2026·高一·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．题型4：同一函数判定【典例4-1】（2026·高一·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例4-2】（2026·高一·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【变式4-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式4-2】（2026·高一·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数fx与是同一函数（

）A．， B．，C．， D．，【变式4-3】（2026·高一·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，题型5：函数表示法应用【典例5-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则__________，不等式的解集为__________.x123f230

【典例5-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数fx的图象如图所示，则______.【变式5-1】（2026·高一·上海·期中）已知函数y=fx和的部分取值如表所示．则_______．x123f6910234【变式5-2】（2026·高一·广东·阶段检测）设，则∀x∈R，且__________.【变式5-3】（2026·高一·山西运城·期中）若函数fx满足，则________.题型6：函数值与值域求解【典例6-1】（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域：(1)；(2).【典例6-2】（2026·高一·山东淄博·期中）（1）化简求值:（2）已知求f(x);（3）求函数的值域．【变式6-1】已知函数的值域是，求实数m，n的值．【变式6-2】求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；(4)，．【变式6-3】求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（x>1）．题型7：待定系数法求解析式【典例7-1】（2026·高一·四川泸州·期中）已知一次增函数fx满足，则（

）A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1【典例7-2】（2026·高一·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足，则fx=（

A． B． C． D．【变式7-1】若是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【变式7-2】（2026·高一·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（

）A．3 B．−3 C． D．7【变式7-3】（2026·高三·全国·中职高考）已知二次函数fx满足，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．题型8：换元配凑法求解析式【典例8-1】（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（

）A． B．C． D．【典例8-2】若则当x≠0，且时，（）A． B． C． D．－1【变式8-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式8-2】（2026·高一·陕西西安·期末）若函数，则（

）A． B． C． D．【变式8-3】（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【变式8-4】（2026·高一·云南·期末）已知函数，则函数fx的解析式为（

）A． B．C． D．题型9：方程组法求解析式【典例9-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则fx的解析式是（

）A． B．C． D．【典例9-2】（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（

）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．【变式9-1】若函数满足方程且x≠0，则：（1）___________；（2）___________．【变式9-2】（2026·高二·福建·期末）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）【变式9-3】（2026·高一·山西朔州·期中）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.题型10：分段函数求值【典例10-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，则（

）A．15 B．5 C．−3 D．21【典例10-2】（2026·高一·浙江·期中）已知函数，则（

）A．63 B． C． D．【变式10-1】（2026·高一·陕西西安·期中）已知函数，则（

）A． B． C．2 D．1【变式10-2】（2026·高一·山东德州·期末）设函数，则（）A．−1 B．−12 C．1 题型11：分段函数值域与最值【典例11-1】（2026·高一·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．0,1 B． C． D．【典例11-2】（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数(1)求，的值；(2)若，求a的值；(3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数fx【变式11-1】（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数(1)画出函数fx(2)求函数fx(3)若，求x的值；(4)求的值.【变式11-2】（2026·高一·重庆江津·阶段检测）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)写出的值域；(2)写出不等式的解集；(3)求的解析式．【变式11-3】（2026·高一·陕西商洛·阶段检测）已知（1）求，值；（2）若，求x值；（3）作出该函数简图；（4）求函数值域．

1．（2026·高一·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（2026·高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（

）A． B．C． D．3．（2026·高一·重庆·阶段检测）定义在上的函数fx满足，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．84．（2026·高一·浙江温州·阶段检测）设函数则（）A．—2 B．−12 C．125．（2026·高一·广西河池·期中）已知函数，求的值（

）A．2 B．5 C．3 D．16．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（

）A． B． C． D．7．（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．8．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数fx满足：对任意的非零实数x，y，都有成立，，若，，则n=（

）A．−3 B．−2 C．2 D．39．（2026·高一·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知，函数表示3小数点后第n位数字y，并规定，则（

）A．1 B．7 C．3 D．211．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则a=（

）A．4 B．3 C．2 D．112．（2026·高一·福建厦门·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．7 D．913．（2026·高一·广东惠州·期末）