初高中数学暑假衔接材料：第12讲 函数的奇偶性（暑假预习讲义）（解析版）

2/14第12讲函数的奇偶性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：判断函数的奇偶性题型2：利用奇偶性求函数值题型3：奇偶函数的图象特征应用题型4：利用奇偶性求参数值题型5：求对称区间的函数解析式题型6：构造方程组求函数解析式题型7：奇偶性与单调性综合应用题型8：抽象函数的奇偶性分析04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数奇偶性的定义奇函数偶函数奇偶函数的图象特征函数奇偶性的判定奇偶函数的基本性质奇偶性与单调性的综合抽象函数的奇偶性1.理解奇函数、偶函数的定义，掌握奇偶函数的图象特征（奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称），能根据定义和图象判断函数的奇偶性。2.掌握函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，能准确判断给定函数的定义域是否满足对称性。3.掌握奇偶函数的基本性质，能利用性质求函数值、函数解析式，解决与奇偶性相关的简单问题。4.会证明简单函数的奇偶性，掌握奇偶性证明的规范步骤，能处理抽象函数的奇偶性证明问题。5.能综合运用函数的奇偶性与单调性解决比较大小、解不等式等综合问题，体会数形结合与转化化归的数学思想。学习重点：函数奇偶性的定义与判定方法、奇偶函数的图象特征与基本性质、函数奇偶性的简单应用。学习难点：函数奇偶性定义的准确理解与严格证明、抽象函数奇偶性的分析与证明、函数奇偶性与单调性的综合应用。知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于原点对称注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域；（2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．即时即练函数的奇偶性为（

）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】A【解析】∵的定义域为，，所以fx知识点02奇偶函数的性质（1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.（2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致．（3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反．（4），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数即时即练函数的部分图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以fx当0<x<1时，fx故选：A．

题型1：判断函数的奇偶性【典例1-1】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知fx是奇函数，g（2）判断下列函数的奇偶性：①；②；③；【解析】（1）由fx由gx为偶函数，其图象关于y（2）①的定义域为R，且，即函数为偶函数，②的定义域为R，且，即函数为奇函数，③的定义域为R，且，即函数为非奇非偶函数.【典例1-2】根据定义，判断下列函数的奇偶性(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）依题意知函数的定义域为R，且对任意的x∈R，有,所以函数是奇函数；（2）依题意知函数的定义域为R，且对任意的x∈R，有，所以函数是偶函数；（3）依题意知函数的定义域为，且对任意的，有，所以函数是偶函数；（4）依题意知函数的定义域为，当时，，所以，，则，当时，，所以，，则所以φ(x)为偶函数.（5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数.【变式1-1】（2026·高一·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）偶函数，理由如下：函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数.（2）非奇非偶函数，理由如下：由得x≠0且，故函数的定义域为且，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.（3）非奇非偶函数，理由如下：由解得，所以x=1，函数的定义域为，定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．（4）既是奇函数又是偶函数，理由如下：由，所以，其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个x，都有，所以，，所以既是奇函数又是偶函数.【变式1-2】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）由得且x≠0，定义域关于原点对称，所以，所以，因为，所以fx为奇函数．（2）由，解得，其定义域不关于原点对称，则fx（3）fx的定义域为R因为，所以fx为偶函数．（4）解法1：fx，即，则fx为偶函数．解法2：画出fx观察可知图象关于y轴对称，则fx题型2：利用奇偶性求函数值【典例2-1】（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知函数fx是奇函数，当时，，则____.【答案】−6【解析】因为，且fx所以,故答案为：−6.【典例2-2】（2026·高一·天津和平·期中）已知函数fx为定义在R上的奇函数，当时，，则________．【答案】−6【解析】设，则，则，所以，则.故答案为：−6.【变式2-1】（2026·高一·上海浦东新·期末）已知定义在上的偶函数f(x)，当时，，则的值为________.【答案】8【解析】因为f(x)为偶函数，所以定义域关于原点对称，即，得，且知，代入得.故答案为：8.【变式2-2】（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______．【答案】5【解析】由题意知，函数f(x)的对称轴是y轴，所以，得a=2，，所以.【变式2-3】（2026·高一·上海·期末）函数，a为常数，若，则的值为______．【答案】−5【解析】因为，所以，则，可得，而，得到，解得.题型3：奇偶函数的图象特征应用【典例3-1】（2026·高一·广东佛山·期中）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由解析式，函数的定义域为R，且，所以f(x)为奇函数，排除B、D，当时，有，排除C.故选：A【典例3-2】（2026·高一·福建福州·期中）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，且，所以函数fx为偶函数，排除B、C项；当时，可得在上为单调递增函数，所以A项符合.故选：A.【变式3-1】（2026·高一·河北邢台·期中）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】fx的定义域为R又，则fx为奇函数，故A错误；当x∈0,1时，，所以fx故选：D.【变式3-2】（2026·高一·全国·单元测试）函数的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得fx的定义域为，又，故fx为偶函数，排除B，C；当时，，则fx在上单调递增，排除D，故选：A【变式3-3】（2026·高一·四川宜宾·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，则函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】设，所以所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项CD.当x=0时，，所以排除B，选择A.故选：A.题型4：利用奇偶性求参数值【典例4-1】（2026·高一·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________．【答案】0【解析】由题意，所以，在x∈R上恒成立，则a=0，所以，又，可得，综上，.【典例4-2】（2026·高一·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________.【答案】5【解析】因为函数fx为偶函数，所以，则，解得，所以.【变式4-1】（2026·高一·上海·阶段检测）若函数是奇函数，则实数a=______．【答案】1【解析】因为函数是奇函数，所以，因为，当时，，，所以，即，解得a=1，此时，当时，，所以，符合题意．所以a=1．【变式4-2】（2026·高一·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数a的值为______．【答案】12【解析】由题意得，又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性，则，解得，则，此时，解得，定义域关于原点对称，且，则fx为奇函数，满足题意.故答案为：.【变式4-3】（2026·高一·浙江湖州·期末）已知函数为奇函数，则a=________.【答案】【解析】因为f(x)为奇函数，x∈R，所以，解得，当时，，此时，符合题意.故答案为：题型5：求对称区间的函数解析式【典例5-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数fx是奇函数，且当时，，则当时，fx的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可知，时，，取x<0，则，，由奇函数性质可得：.【典例5-2】（2026·高一·河北唐山·期末）已知fx是定义域为的奇函数，当x≥0时，，则当时（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，所以，因为函数fx是定义域为的奇函数，所以.故选：C【变式5-1】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知函数fx是定义在上的奇函数，当x≥0时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，所以函数fx是上的奇函数，所以故选：B.【变式5-2】（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数fx是定义在R当时，，设时，则，可得.故选：C【变式5-3】（2026·高一·广东汕头·期中）已知函数fx是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，则（）A．fx在上单调递增B．fx的最大值为C．方程有4个根D．当时，【答案】D【解析】对于A，当x≥0时，，所以函数fx在上单调递增，在上单调递减，又因为函数fx是R上的偶函数，其图象关于y所以函数fx在单调递减，所以A不正确；对于B，当x≥0时，，且函数fx是R上的偶函数，所以函数fx的最大值为1对于C，当x≥0时，令，即，解得x=0或x=1，因为函数fx是R上的偶函数，可得，所以函数fx对于D，设，则，因为fx是R上的偶函数，且当x≥0时，，所以，即当时，，所以D正确.故选：D.【变式5-4】（2026·高一·河北张家口·阶段检测）已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数f(x)是定义在上的奇函数，当时，，当时，则，所以.故选：C.题型6：构造方程组求函数解析式【典例6-1】设fx是偶函数，gx是奇函数，且，求函数fx，【解析】因为fx是偶函数，g所以，.由①，用代替x得，所以②.（①+②）÷2，得.（①-②）÷2，得.【典例6-2】（1）已知定义在R上的函数fx满足，求fx（2）若f(x)满足关系式，求fx的解析式．（3）已知定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足关系式，求fx与g(x)的解析式．【解析】（1）用代替已知条件中的x，得．联立方程组，消去，得．（2）用代替已知条件中的x，得．联立方程组，消去，得．（3）用代替已知条件中的x，得．由f(x)是奇函数，gx是偶函数，得．联立方程组，解得.【变式6-1】已知函数y=fx为偶函数，y=gx为奇函数，且.求y=fx及【解析】因为函数y=f(x)为偶函数，y=g(x)为奇函数，且①，所以，即②，①②联立可得，【变式6-2】fx是奇函数，gx是偶函数，且，求fx，【解析】∵fx是奇函数，g∴，，又，①用代替上式中的x，得，即．②联立①②得，．【变式6-3】（2026·高一·天津和平·期中）(1)定义在R上一次函数y=f(x)是增函数，且.求一次函数y=f(x)的解析式；(2)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且，求f(x)、g(x)；【解析】(1)由题可设，则，∵，∴，解得，∴．(2)由题可知，，∵，①∴，即，②①－②得：；①＋②得：．故．题型7：奇偶性与单调性综合应用【典例7-1】（2026·高一·云南德宏·期末）设偶函数f(x)在上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为偶函数f(x)在上为增函数，所以f(x)在上为减函数，又f(1)=0，所以，所以当x<−1或时，当或0<x<1时fx<0，不等式，即或，解得x<−1或0<x<1，即不等式的解集为.故选：B【典例7-2】（2026·高一·福建泉州·期中）若奇函数fx定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为奇函数fx在区间上单调递增且，所以函数fx在区间0,+∞上单调递增且，因此，当或时，；当或时，fx<0，不等式等价于或，解得或，所以不等式的解集为.【变式7-1】（2026·高一·江西九江·期中）若定义在上的偶函数fx在区间上单调递减，且，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由R上的偶函数fx满足，得，不等式，化为或，而函数fx在区间上单调递减，则或，解得或，所以原不等式的解集为.【变式7-2】（2026·高一·湖南长沙·期中）已知fx是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式fx<0的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知fx是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则函数fx在上单调递增，又，所以，即当时，，当或时，fx<0，所以不等式fx<0的解集为【变式7-3】（2026·高一·浙江杭州·期末）已知fx是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知fx是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则函数fx在上单调递增，又，所以，即当时，，当或时，，又不等式可转化为或，即−4<x<0或，即不等式的解集为.题型8：抽象函数的奇偶性分析【典例8-1】（2026·高一·天津红桥·期中）定义在上的函数y=fx对任意x、都有．(1)求的值；(2)判断函数fx【解析】（1）令y=0，则f0=0.（2）函数的定义域为,令，则，因为f0=0，所以即.所以函数fx【典例8-2】已知函数fx的定义域为，对任意都有，且，判断fx的奇偶性．【解析】令，则，即，∵，解得．再令x=0，则，移项可得，∴fx【变式8-1】（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数f(x)的定义域为R，且满足对于任意，都有，且当时，，且．(1)求与的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)的单调性，并证明.【解析】（1）令，则，即f(0)=0，，；（2）令，则，即，可得f(x)为奇函数；（3）f(x)是R上的减函数.证明：令，则，则，由时，，可得，即有，即，即，则f(x)是R上的减函数.【变式8-2】（2026·高一·黑龙江鹤岗·期中）若定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有，当时，，且．(1)求证:f(x)为奇函数；(2)求f(x)在上的最小值；(3)若不等式:恒成立，求a的取值范围；【解析】（1）函数f(x)的定义域为R，令，则，解得.令，则，得，所以函数f(x)为奇函数.（2）任取，则，因为当时，，则，由（1）知，，即，所以f(x)为R上的减函数，可知f(x)在上的最小值为，因为，，，所以，即f(x)在上的最小值为−6.（3）由（2）可求，所以，由（2）可知f(x)为减函数，所以时，即恒成立，时，，不等式恒成立；时，有恒成立，由函数在上单调递增，则有，所以a的取值范围为.【变式8-3】（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知函数y=fx的定义域为R，且对任意，都有，且当时，fx<0恒成立．(1)判定并证明函数y=fx(2)讨论函数y=fx(3)若，求x的取值范围．【解析】（1）y=fx在R任取，且，因为，所以，令，则，因为当时，fx<0又，所以，所以，，所以y=fx在R（2）令，则，解得，令，因为，故，所以，所以y=fx（3）因为，所以，因为y=fx是奇函数，所以，因为y=fx是R上的减函数，所以，解得或，所以不等式的解集为或.

1．（2026·高一·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，函数，定义域关于原点对称，且，则函数是偶函数；对于B，函数，定义域为R，关于原点对称，而与不恒等，则函数不是偶函数；对于C，函数fx=x而与fx=对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数.故选：A2．（2026·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为y=fx，则图2对应的函数是（

A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的图象与函数y=fx的图象关于y轴对称，不满足要求，B错误；设，由已知函数gx的定义域为R，定义域关于原点对称，，当x≤0时，函数的图象与函数y=fx的图象相同，且图象关于y轴对称，A正确；设，由已知函数ℎx的定义域为R，定义域关于原点对称，，当x≥0时，函数的图象与函数y=fx的图象相同，且图象关于y轴对称，C错误；函数的图象与函数y=fx的图象关于原点对称，D错误；故选：A.3．（2026·高一·贵州遵义·期中）函数fx是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，所以，故，又fx为奇函数，则，故.故选：A.4．（2026·高一·黑龙江大庆·开学考试）已知函数fx是定义在R上的奇函数，满足fx在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数fx是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0由函数fx在上单调递增，且，所以函数fx在0,+∞上单调递增，且则当时，得或x>3，当时，得或，由，得x<−1或x>3，由，得，由，得或，得或，得或，由，得或或或3，故的解集为：5．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知fx是定义在R上的偶函数，且fx在上单调递增，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知fx是定义在R上的偶函数，且fx在则函数fx在上单调递减，且又，所以，解得或，即.6．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，即，所以，因为，，所以，因此f(x)在上是减函数，所以，由，得，所以，所以时，，解得，即的解集为.7．（2026·高一·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于函数的定义域为，且对任意的x≠0，，故fx为偶函数，其图像关于y轴对称，此时排除CD选项，当x→0+时，8．（2026·上海闵行·一模）如果“若p，则q”和“若q，则p”中有且仅有一个真命题，称p与q具有“U－关系”．已知函数y=f(x)的定义域为，为偶函数，则p与下列选项中的q具有“U－关系”的为（）A．q：对任意都有B．q：对任意都有C．q：对任意都有D．q：对任意都有【答案】C【解析】由为偶函数，得对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误；对于选项B∶由得成立，故“”为真命题，而由对任意x∈R恒成立，将x替换为，得对任意x∈R恒成立，从而成立，所以“”也为真命题，故B错误；对于选项C：当时，，，此时不成立，只有f(x)非负的情况下才会成立，即“”为假命题，而由q：，用替换x得，又因，故，所以成立，所以“”为真命题，故C正确；对于选项D：“”为真命题，由于由，用替换x得，故，所以“”也为真命题，故D错误；9．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数a=（

）A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】D【解析】函数的定义域为.由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立，因此，即a=2．方法二：函数的对称轴为.因为偶函数的图象关于y轴对称，所以，所以a=2.当a=2时，，定义域为R，且满足，是偶函数.因此，a=2.10．（多选题）（2026·高一·四川泸州·期中）下列关于函数的说法中，正确的有（

）A．fx的定义域为B．fxC．fx在区间0,1D．fx的值域为【答案】AD【解析】因为函数，可知x≠0，所以函数fx的定义域为，故A正确；且，所以为奇函数，故B错误；任取，且，则，因为，则且，可得，所以在0,1上单调递减，故C错误；当时，，当且仅当x=1时，等号成立，又由结合为奇函数，可得的值域为，故D正确.11．（多选题）（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数f(x)是定义域为的奇函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，则下列结论中正确的是（

A．f(0)=0 B．函数f(x)是上的增函数C．是偶函数 D．是奇函数【答案】ABC【解析】对于A，由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，有，令x=0，则，解得f0=0，故A正确；对于B，由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间[0,+∞由于奇函数的图象关于原点对称，说明fx在区间上也单调递增，又因为f0=0，所以函数f(x)是对于C，设，，因此是偶函数，故C正确.对于D，设，则，因此是偶函数，故D错误.12．（多选题）（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知奇函数fx在上单调递减，且，则的值可能为（

）A． B． C．−2 D．1【答案】BC【解析】由题意得，因为fx在上单调递减，所以，得，故BC正确.13．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）已知函数fx是定义在上的奇函数，且满足，当时，fx=x3，则的值为__________【答案】1【解析】因为，所以函数fx的周期为4，所以，又fx是定义在上的奇函数，所以，所以14．（2026·高一·广东汕头·期末）已知y=fx是奇函数，且当时，，则＝________【答案】【解析】因为f(x)是奇函数，且当时，，所以.15．（2026·高一·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____．【答案】1【解析】由题可知，所以，又fx是奇函数，所以，即，所以b=−3，所以a+b=1．故答案为：116．（2026·高一·西藏拉萨·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____．【答案】0【解析】由题可知，所以，又fx是奇函数，所以，即，所以b=−3，所以．故答案为：0.17．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________．【答案】9【解析】由题意知，，.因为①，则，即②，由①②联立解得，.所以.故答案为：918．（2026·高一·上海·期中）已知定义在上的偶函数y=fx在上是严格增函数，若，则x的取值范围为_________.【答案】【解析】因为fx为偶函数，故即为，∵偶函数fx在上是严格增函数，故，平方得，即，解得，故答案为：19．（2026·高一·河北唐山·阶段检测）若函数为奇函数，则a的所有可能值为___