初高中数学暑假衔接材料：第13讲 函数与方程、不等式间的关系（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14第13讲函数与方程、不等式间的关系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：求函数的零点题型2：判断函数零点所在区间题型3：判断函数零点的个数题型4：求解高次不等式题型5：由零点个数求参数值题型6：由零点所在区间求参数题型7：用二分法求方程近似解题型8：函数零点之和问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的零点函数零点与方程根的关系零点存在性定理二分法函数与不等式的关系三个"二次"的关系用函数图象解不等式1.理解函数零点的定义，掌握函数零点与对应方程实数根的等价关系，能求简单函数的零点。2.掌握零点存在性定理，能判断连续函数零点的存在性及零点所在的大致区间。3.了解二分法的基本原理，能利用二分法求方程的近似解，体会逼近思想。4.理解函数与不等式的内在联系，能借助函数图象解一元二次不等式及简单的分式、绝对值不等式。5.深化对三个"二次"（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）关系的理解，能综合运用它们解决相关问题。6.体会数形结合、转化与化归的数学思想，提高运用函数观点解决方程与不等式问题的能力。学习重点：函数零点的概念与求法、零点存在性定理的应用、函数与不等式的关系、三个"二次"的综合应用。学习难点：零点存在性定理的准确理解与灵活应用、用函数图象解不等式、三个"二次"的综合应用、二分法求近似解的步骤掌握。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的零点零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．即时即练函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3知识点02二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系的图象与轴的交点个数2个1个0个的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集（1）方程、函数、图象之间的关系方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点．拓展：高次不等式的概念：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.（2）穿根引线法的步骤：①将最高次项系数化为正数；②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集．即时即练已知函数.(1)若对，恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式：.知识点03函数零点的存在性定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：（1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）.即时即练设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或知识点04二分法1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求函数零点的一般步骤给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下：（1）确定的初始区间,验证；（2）求区间的中点；（3）计算,并进一步确定零点所在的区间①若(此时),则就是函数的零点；②若(此时零点),则令；③若(此时零点),则令.（4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）．即时即练用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：11.51.751.81251.87520.57961.3423则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（

）A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9

题型1：求函数的零点【典例1-1】（2026·高一·广西河池·期末）函数y=2x−1的零点是（

）A． B． C．1 D．【典例1-2】（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）函数的零点为（

）A．0 B．1 C． D．2【变式1-1】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（

）A．1 B．－3 C．1和－3 D．和【变式1-2】（2026·高三·全国·一轮复习）下列各图象表示的函数中没有零点的是（

）．A． B． C． D．题型2：判断函数零点所在区间【典例2-1】（2026·高一·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2026·高一·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2026·高一·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（

）A． B． C． D．题型3：判断函数零点的个数【典例3-1】（2026·高一·山东临沂·期末）函数零点的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【典例3-2】（2026·高三·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表：x123456y122.521.4-7.44.5-53.1-125.5那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（

）A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个【变式3-1】已知函数，则函数的零点个数为（

）A． B．1 C．2 D．【变式3-2】函数的零点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．无数个【变式3-3】（2026·高一·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-4】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表：11.51.751.8752-6-2.625-0.141.342-0.158则在上的零点个数（）A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个题型4：求解高次不等式【典例4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例4-2】不等式的解集为______．【变式4-1】（2026·高一·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________．【变式4-2】（2026·高一·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______【变式4-3】（2026·高三·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为______题型5：由零点个数求参数值【典例5-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________．【典例5-2】（2026·高一·广东广州·阶段检测）函数与有三个交点，那么______.【变式5-1】（2026·高一·湖北十堰·期末）记为不超过x的最大整数，如，.当时，函数与的图象恰有2个公共点，则实数k的取值范围为______.【变式5-2】（2026·高一·云南·期末）若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______．【变式5-3】（2026·高一·上海杨浦·期末）已知为常数，函数，设，若函数恰有两个零点，则的取值范围是___________.题型6：由零点所在区间求参数【典例6-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________．【典例6-2】（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若函数在区间上有两个不相同的零点，则实数m的取值范围为____________．【变式6-1】若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______．【变式6-2】方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______．题型7：用二分法求方程近似解【典例7-1】下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【典例7-2】（2026·高一·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（

）A． B．C． D．【变式7-1】（2026·高一·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数的零点为，则与最接近的数为（

）A． B． C．34 D．【变式7-3】（2026·高一·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（

）A． B． C． D．题型8：函数零点之和问题【典例8-1】（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例8-2】（2026·高一·山西·期中）已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-1】定义在R上的函数，若关于x的方程，（其中）有n个不同的实根，则（

）A．10 B．8 C． D．16【变式8-2】（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．

1．（2026·高一·北京·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2026·高一·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示：11.51.751.81251.87520.57961.3423则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（

）A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.93．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2026·高一·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．，且5．（2026·高一·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或6．（2026·高一·天津北辰·阶段检测）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：010.50.250.3750.43750.31250.343750.32813-130.625-0.234380.177730.39624-0.031980.071870.01972若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（

）A． B． C． D．8．（2026·高一·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．9．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）设函数若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．10．（2026·高一·广东深圳·期中）已知1和2是函数的两个零点，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．（2026·高一·山东菏泽·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（

）A．2 B．3 C．4 D．512．（多选题）（2026·高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．若在上的值域为，则D．若在上恒成立，则实数t的取值范围为13．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．，都有B．的值域为C．，且，都有D．方程有3个不等实数根14．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）定义域和值域均为的函数y=f(x)和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（

）A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解15．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．在区间上单调递增 D．的解集为16．（2026·高一·浙江丽水·期末）已知关于的方程有两个实数根，一个根比1小，另一个根比1大，则实数m的取值范围为____.17．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知是方程的一个根，则______；不等式的解集为______用区间表示18．（2026·高一·湖北·期中）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________.19．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）若不等式对一切实数恒成立，则的取值范围__________．20．（2026·高一·上海普陀·期末）设且，若，则的取值范围是___________．21．（2026·高一·福建泉州