初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第5讲 反证法（解析版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第5讲反证法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航反证法命题的否定形式反证法的步骤1.反证法的思想。2.反证法的表达形式。3.反证法的证明步骤。学习重点：了解反证法的思想以及反证法的表达方式。学习难点：会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题。1、反证法（1）证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论；（2）反证法的一般步骤：①分清命题的条件和结论；②作出与命题结论相矛盾的假设；③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01反证法的定义要判断命题＂若，则＂是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题＂若，则＂是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论，有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论丕成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明＂为假＂是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法．一些常用的否定形式陈述句的否定形式至少有2个最多有1个至多有2个至少有3个都是对的不都是对的(至少有一个是错的)至少存在一个不满足性质至少存在一个满足性质【经典例题】【例1】命题“，若，则或”用反证法证明时应假设为________．【答案】且【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”；故答案为：且.【技巧归纳】由或的否定为且，从而可得结果.【例2】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设：【答案】a，b都不能被5整除【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除；故答案为：a，b都不能被5整除.【技巧归纳】根据反证法的步骤填写即可.【例3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题；这个命题可以用反证法去证明，可以假设：．【答案】且【详解】依题意，或的否定是：且，所以所求假设为：且；故答案为：且【技巧归纳】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”，应假设为【答案】或【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果.【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或；故答案为：或.【练习2】（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设.【答案】m、n不都是奇数【分析】根据题意结合反证法即可得结果.【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”，利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数；故答案为：m、n不都是奇数.知识点02反证法的证明反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了；如果有多种，那么必须一一否定。反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立,则结论成立.【经典例题】【例4】若，用反证法证明：和中至少有一个小于2．【答案】证明见解析【详解】证明：假设，都不小于2，则因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b,则1＋1＋a＋b≥2（a＋b）即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立；综上，中至少有一个小于2．【易错提醒】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立．.【例5】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）设且互不相同时，中至少有一个小于；（2）设，求证中至少有一个不小于．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】解：（1）假设均大于等于，则，则，且互不相同，，故，当且仅当，即时，等号成立，故，这与均大于等于矛盾，故假设不成立，则且互不相同时，中至少有一个小于．（2），，，，则，故，假设中都小于，即，，，即与矛盾，故中至少有一个不小于．【易错提醒】（1）先假设均大于等于，则，再根据基本不等式推出，与假设矛盾，即可证明；（2）先根据已知条件求出，再假设中都小于，求出的范围与已知矛盾，即得证.【例6】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证：(1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解；(2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）不妨设，记，，共13个数，假设不存在满足条件的k，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而①，又因为，这与①矛盾，故假设不成立，结论成立.即存在非零自然数k，使得方程至少有三组不同的解；（2）例如，则（正数）：1，3，5，6，9，10，15各两个，2，4，7，12，13，14，16各1个，即没有三个相等的值，所以于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立.【易错提醒】（1）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可；（2）举例说明即可.【对点练习】【练习3】设．用反证法证明：若是奇数，则是奇数．【答案】证明见解析【分析】假设不是奇数，然后推出为偶数，这与题设矛盾，即可证.【详解】证明：假设不是奇数，则是偶数，设，则，因为，所以，则是偶数，即为偶数，这与题设为奇数矛盾，所以假设不成立，即是奇数.【练习4】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）（1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于；（2）已知，判断“”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，理由见解析【分析】（1）先假设结论不成立，推理得出矛盾，解决问题；（2）由（1）可知充分性成立，列举出反例推翻必要性的成立，从而得出本题结论.【详解】（1）证明：假设则，与已知条件矛盾，所以中至少有一个小于；（2）由（1）可得“”可以推出“中至少有一个小于”，反之不一定成立，例如：，，，则，所以“”是“中至少有一个小于”的充分非必要条件.1．如果用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”，那么首先假设方程【答案】没有实数根【分析】考察反证法的一般步骤，先假设命题的否定是正确的【详解】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实数根；故答案为：没有实数根.2．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确【答案】C【详解】①的命题否定为，故①的假设正确.或”的否定应是“且”②的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.3．已知平面直角坐标系内曲线，曲线，若点不在曲线上，则下列说法正确的是（

）A．曲线与无公共点 B．曲线与至少有一个公共点C．曲线与至多有一个公共点 D．曲线与的公共点的个数无法确定【答案】A【解析】利用反证法，假设曲线与有公共点，推出矛盾，即可得到结论.【详解】假设曲线与有公共点，则和同时成立，，点在曲线上，这与已知条件点不在曲线上矛盾.假设不成立，所以曲线与无公共点.故选：.4．设.证明：若是偶数，则n也是偶数.【答案】证明见解析【分析】结合数论知识以及反证法即可得证.【详解】用反证法证明，理由如下：若n不是偶数，且是偶数，结合前提可设，此时有，因为是偶数，所以是奇数，这与是偶数矛盾，故假设不成立，命题得证.5．用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0至少有一个方程有实根．【答案】证明见解析.【详解】要证命题的否定为：关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根，假设关于x的方程x2﹣5x+m=0与2x2+x+6﹣m=0没有实根，则有△=25﹣4m＜0，且△′=1﹣8（6﹣m）=8m﹣47＜0．解得m＞，且，矛盾，故假设不正确，原命题得证．6．证明：是无理数.【答案】证明见解析【分析】即证是无理数，假设是有理数，则可设，其中m与n是互素的正整数，推出矛盾，假设不成立，故是无理数.【详解】因为，假设是有理数.则可设，其中m与n是互素的正整数.于是.两边平方，得.（*），所以是3的倍数.又因为n是正整数，所以n是3的倍数.设（t为正整数），代入（*）式得，所以是3的倍数.又因为m是正整数，所以m是3的倍数.这与m与n是互素的正整数矛盾，因此假设是有理数不成立.即是无理数，故是无理数.7．（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明）（2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案；（2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解.【详解】（1）假设都是非负数，因为，，所以，又，故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立；（2）若的充分非必要条件为，则是的真子集，若，则，解得；若，则，解得，综上所述，的取值范围是.8．在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径.(1)求证：是