初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第13讲 幂函数（原卷版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第13讲幂函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航幂幂函数幂值的大小比较1.理解幂函数的定义及图像。2.掌握幂函数的性质。3.掌握利用幂函数的性质解不等式。学习重点：掌握幂函数定义、图像特征（过定点(1，1)），会根据指数正负，并能绘制草图和比较函数值。学习难点：理解幂函数的性质，能掌握利用其性质解决幂函数的应用题。1.幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α2.幂函数的图象：在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1y＝x－1的图象如图所示：3.幂函数的性质：y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数4.幂值的大小比较的方法：（1）直接法:当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较；（2）转化法:当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小；（3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的.5.幂函数性质的应用：利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01幂函数的图像及性质知识点1.幂函数的概念定义当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数．使得有意义的的取值范围，称为此冪函数的定义域．幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数的值有关．幂函数的定义域由指数决定，指数不同，幂函数的定义域是不同的．特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体．知识点2.幂函数的图像作函数的大致图像的步骤：列表一描点一连线；在平面直角坐标系中把满足的一切点描绘出来，就构成幂函数的图像．需要注意幂函数的图像依赖于指数的值，可以有不同的形状。五个常用幂函数的图像如下:(1);(2);(3);(4);(5).知识点3.幂函数的性质所有的幂函数在上都是有定义的，并且图像都过点．1.当时，耍函数有下列性质：（1）图像都过点和；（2）在第一象限内，函数值随的增大而增大，此时称幂函数在上是严格增函数；（3）在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸．2.当时，幂函数有下列性质：（1）图像都过点；（2）在第一象限内，函数值随的增大而减小，此时称幂函数在区间上是严格减函数，图像都下凸；（3）在第一象限内，当的值从右趋于原点时，图像在轴上方无限逼近轴，当趋于时，图像在轴上方无限逼近轴.3.当时，幂函数有下列性质：是直线去掉一点，它的图像不是直线．（1）当时，幂函数的图像是经过原点的一条直线．（2）指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线对称．（3）所有的幂函数的图像都会过第一象限．五个常用幂函数的性质函数定义域单调性增函数在上是增函数，在，0］上是减函数增函数增函数在上是减函数，在，0）上是减函数定点【经典例题】【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（

）A．64 B．2 C．16 D．8【技巧归纳】利用待定系数法求解析式，然后求函数值.【例2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则.【技巧归纳】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得.【例3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上，求幂函数的表达式为.【技巧归纳】根据幂函数的表达式即可求解.【例4】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若幂函数的图像经过点，则【技巧归纳】将已知点坐标代入函数解析式，结合指数式的运算，可得答案.【例5】（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数在上是严格减函数，则实数【技巧归纳】利用幂函数的定义及单调性，列式求解即得.【例6】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图象过原点，则．【技巧归纳】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值.【例7】下列函数是幂函数的是（）A．B．C． D．【技巧归纳】根据幂函数的定义即可得解.【例8】已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（

）A． B． C．1 D．3【技巧归纳】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值.【对点练习】【练习1】（24-25高一上·上海金山·期中）函数是幂函数，则.【练习2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若函数是幂函数，则=．【练习3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）幂指数为整数的幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的取值集合为.【练习4】函数的定义域为．【练习5】若有意义，则实数的取值范围是【练习6】下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是.（只需填写正确答案的序号）【练习7】函数的定义域是（

）A． B． C． D．【练习8】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（

）A．与 B．与C．与 D．与知识点02幂函数的应用1.幂函数性质的应用：利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.2.幂函数解析式为y=xα（α为常数），先求其定义域（如α负整数时x≠0，α分数且分母偶时x≥0再分类分析指数：①α>0（正指数）；②α<0（负指数）；③α为分数或整数时结合奇偶性，为判断单调性铺垫.3.α>0时：定义域R且α奇时，在R上递增；α偶时，在(−∞，0]递减、[0，+∞)递增；α<0时：在(0，+∞)递减；若α奇，在(−∞，0)也递减（注意区间不合并）；用区间表示单调区间，标注增减性，确保贴合定义域与指数特征.4.明确不等式对应的幂函数y=xα（α已知），先求其定义域（如α=-1时x≠0，α=1/2再根据α判断单调性：α>0时，在(0，+∞)递增，若α奇则在R上递增；α<0时，在(0，+∞)递减，若α奇则在(−∞，0)也递减.5.根据单调性转化不等式：递增时，x1等价于x1<【经典例题】【例9】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为．【易错提醒】根据幂函数的性质一一验证即可..【例10】（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为．【易错提醒】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果.【例11】若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为.【易错提醒】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值.【例12】（24-25高一上·上海闵行·期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第象限.【易错提醒】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限.【例13】（24-25高一上·上海·期中）对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是．【易错提醒】利用幂函数的图象特征分类判断即可得解.【例14】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则．【易错提醒】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可．【例15】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）解关于的不等式：．【易错提醒】由已知可得，根据幂函数的图象即可求解.【例16】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是.【易错提醒】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解.【对点练习】【练习9】若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”）【易错提醒】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得.【练习10】如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式：．【练习11】已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是．【练习12】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系，的大小（填、或符号）【练习13】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是．【练习14】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数在上y随x增大而减小，且图象关于y轴对称，则．【练习15】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为.【练习16】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数．(1)求幂函数的表达式；(2)令，求满足不等式的实数a的取值范围．1.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为．2.若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为．3.若要使有意义，则取值范围是.4.（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数，且在严格递减，则.5.（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数在上是严格减函数，则.6.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，满足任意，，，都有，则实数的取值范围为.7.（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为．8.（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数．10．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有个．11．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为.12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为．13.（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（

）A．B．C． D．14.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（

）

A．B．C． D．15.（24-25高一上·上海·期中）在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（

）A． B． C． D．16．（24-25高一上·上海杨浦·期中）命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同，则命题m是命题n的（

）A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既不充分也非必要17.（22-23高一上·上海青浦·期末）已知幂函数，写出函数定义域，对称性，单调区间，值域，并做出大致图像．18.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的表达式为是幂函数，且当时，函数是严格增函数，求的解析式．19.已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．20.（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数(1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像；(2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由；(3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点.21.（24-25