初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第14讲 指数函数（解析版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第14讲指数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航指数指数函数1.理解指数函数的定义及图像。2.掌握指数函数的性质。3.掌握利用指数函数的性质解不等式。学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。1.指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R2.指数函数的图象和性质：a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a−x3.指数函数图象画法的三个关键点：画指数函数y＝ax(a>0，且a应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，−1，14．指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01指数函数的图像与性质知识点1.指数函数的定义定义当底数固定，且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的指数函数；需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正.形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数，像等函数都不是指数函数．判断一个函数是指数函数的方法1.判断其解析式是否符合且这一结构特征．2.看是否具备指数函数解析式具有的三个特征：（1）底数为常数，且；（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1；（3）的系数是1．知识点2.指数函数的图像用五点法作指数函数的图像.（1）指数函数与的图像关于轴对称．（2）指数函数的图像经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图像离轴越来越远；的图像经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图像离轴越来越近．知识点3.指数函数的性质图像图像特征(1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交(2)过定点(0,1)(3)由左至右图像上升(3)由左至右图像下降函数性质(1)定义域为R,函数值恒正(3)在R上是严格增函数(3)在R上是严格减函数(4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像关于轴对称指数函数底数变化与图像分布规律如图所示:（1）；（2）；（3）；（4），则：，即当时，（底大幂大）；当时，（底大幂小）.【经典例题】【例1】若函数为指数函数，则．【答案】【详解】因为函数为指数函数，所以且且，解得；故答案为：.【技巧归纳】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可.【例2】（1）已知指数函数，则实数的取值范围是；（2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为．【答案】【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是；（2）由已知，，函数式为，时，；故答案为：；．【技巧归纳】（1）根据指数函数的定义求解；（2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值．【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为.【答案】【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得，解得，负值舍去，故指数函数解析式为；故答案为：.【技巧归纳】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式.【例4】函数的图像与函数的图像关于对称，它们的交点坐标是【答案】轴【详解】与中，由于，它们的图象关于轴对称，交点在轴上为点．故答案为：轴；．【技巧归纳】由指数函数图象与性质可得结论．【例5】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点.【答案】【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为，故函数图象恒过定点，故答案为：【技巧归纳】根据函数解析式可求图像所过的定点.【例6】（24-25高一上·上海·月考）设，则.【答案】【详解】对于函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，即，所以.对于函数，因为对于任意都成立，所以，因为，，所以；故答案为：.【技巧归纳】首先要明确集合是函数的定义域，根据幂函数的性质求出集合；集合是函数的值域，根据指数函数的性质求出集合，最后求两个集合的交集.【例7】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为【答案】3【详解】时，，时，，由题意，所以，解得，其中整数和，即整数m的取值集合为，真子集有3个；故答案为：3.【技巧归纳】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论．【例8】若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】由指数函数图像的性质知函数的图像过第一、二象限，且恒过点，而函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到的，故若函数的图像过第一、三、四象限，则且，从而且，故选：D.【技巧归纳】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案.【对点练习】【练习1】函数是指数函数，则【答案】3【分析】根据指数函数的定义得到方程和不等式，求出答案.【详解】由指数函数定义知，解得；故答案为：3.【练习2】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则．【答案】4【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可.【详解】由题意得，，解得；故答案为：4.【练习3】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为．【答案】【分析】借助函数图像即可求解；【详解】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位得到（黑线），结合图象可知：，故答案为：.【练习4】（23-24高一上·上海浦东新·月考）若函数和的图象关于y轴对称，则函数.【答案】【分析】利用两个函数图象关于y轴对称的特征，直接求出函数解析式即得.【详解】函数和的图象关于y轴对称，所以；故答案为：.【练习5】函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则【答案】【解析】从出发，逆向探求即可.【详解】函数图像关于轴对称的图像对应函数的表达式是，函数向左平移1个单位长度得，即.【练习6】函数的定义域是.【答案】【解析】由分式分母不为0，解不等式即可.【详解】由，得，故函数的定义域为；故答案为：.【练习7】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为.【答案】【分析】利用换元法结合指数函数的性质即可得解.【详解】由题意，而关于单调递减，从而，所以的值域为；故答案为：.【练习8】（24-25高一上·上海金山·月考）函数的定义域为，值域为，则的最大值为．【答案】【分析】作出函数的图象，求出时的值，结合图象可得所求最大值．【详解】函数，作出函数的图象如图所示，令，解得或，因为函数的定义域为，值域为，由图象可得，的最大值为；故答案为：．知识点02指数函数的应用1.设含参指数函数为y=ax（a>0先判单调性：a>1时递增，0<a<1时递减；复合函数需结合内层f(x)将值域/最值转化为关于参数的指数方程或不等式.2.解约束条件：如a>1时[a若为复合函数，需同步解内层f(x)的参数约束.验证：确保是否匹配，剔除无效解得参数范围.【经典例题】【例9】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由在上值域为，由在上单调递减，则值域为，又原函数的值域为，所以，可得；故答案为：.【易错提醒】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围..【例10】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是【答案】【详解】当时，因，为减函数，故；当时，因，为减函数，故.依题意，该函数存在最小值，需使，解得；故实数的取值范围是；故答案为：.【易错提醒】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得.【例11】（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是.【答案】【详解】依题意，令，解得；令，解得；当时，，则，由指数函数的性质作出的大致图象，如图，

因为的值域为，所以，，则，所以，即的取值范围为；故答案为：.【易错提醒】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解.【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，函数在区间上单调递减，则，解得，即实数a的取值范围是；故选：C.【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可.【例13】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式解集相同，则.【答案】【详解】，在上单调递增,，即，，；故答案为：.【易错提醒】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可.【例14】（24-25高一上·上海·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，则函数的定义域为；故选：B.【易错提醒】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可.【例15】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，函数在区间上单调递减，则，解得，即实数a的取值范围是；故选：C.【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可.【例16】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（

）A．不等式的解集为B．函数的图象关于点对称C．若、为实数，且，则D．若、为实数，且，则【答案】D【详解】任取、且，则，且，，所以，，则函数在上为增函数，对于A选项，由可得，所以，不等式的解集为，A对；对于B选项，，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，若、为实数，且，则，所以，，则，C对；对于D选项，取，，则，D错；故选：D.【易错提醒】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.【对点练习】【练习9】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】直接根据指数函数的性质得答案.【详解】由指数函数的性质可得，解得，故答案为：.【练习10】（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数，结合指数函数单调性列式求解.【详解】由任取，且，都有，得函数在上单调递增，而函数，则，解得，所以实数a的取值范围是；故选：.【练习11】（24-25高一上·上海宝山·月考）若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据指数函数单调性列不等式即可求解.【详解】指数函数在上是严格增函数，所以，解得，故实数的取值范围是；故答案为：.【练习12】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是．【答案】/【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解.【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减，所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值是；故答案为：.【练习13】已知，函数，若实数、满足，则、的关系为．【答案】【分析】根据指数函数的单调性，比较大小.【详解】因为，所以，所以，所以函数在R上单调递减，又，所以，故答案为：.【练习14】（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式：（且）.【答案】答案见解析【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性，转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】若，则不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为；若，则不等式，即，即，解得或，所以不等式的解集为或；综上可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.【练习15】指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值．【答案】或2【分析】分类讨论，运用函数单调性得出最值，列方程可解.【详解】解：指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，当时，可得的最小值为，的最大值为，那么，解得；当时，可得的最大值为，的最小值为，那么，解得；故的值是或2.【练习16】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数（为常数，且）(1)若函数的图象经过点和，求实数的值;(2)若函数为指数函数，且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式.【答案】(1)，；(2)或.【分析】（1）将点和代入求解即可；（2）根据函数为指数函数，求得，再分和两种情况，根据函数的单调性，求出最大值和最小值，结合题意即可求解.【详解】（1）将点和代入，得，因为且，所以，；（2）因为函数为指数函数，所以，所以，当时，在区间上有，，所以有，即(舍去负值)，此时；当时，在区间上有，，所以有，即(舍去负值)，此时；所以函数的表达式为或.1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数是指数函数，则实数的值是.【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得.【详解】由函数是指数函数，得，解得，所以实数的值是2；故答案为：2.2.（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则．【答案】/【分析】首先设指数函数，再代入点求函数的解析式，最后求函数值.【详解】设函数（且），，得，即所以；故答案为：.3.已知函数的最小值为2，则的最小值为．【答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可【详解】因为，所以，仅当时取等号，又的最小值为2，所以，所以，当且仅当时取等号；故答案为：2.4.（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是．【答案】.【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立，分离参数结合基本不等式即可求解.【详解】，所以若对任意的，总有恒成立，即对任意的，总有恒成立，即对任意的，总有恒成立，而当时，，等号成立当且仅当，所以当时，有最小值且最小值是2，综上所述，实数的取值范围是；故答案为：.5．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为【答案】【分析】由指数函数性质得结论．【详解】，值域是；故答案为：．6．（21-22高一上·上海杨浦·期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则【答案】2【分析】利用指数函数的单调性有，即可求参数值.【详解】由在[0,4]上单调，则，所以；故答案为：2.7．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得；若是假命题，则的取值范围是．【答案】【分析】分离参数可得，结合指数函数与二次函数单调性可得参数范围.【详解】由命题：存在实数，使得为假命题，可知命题：，为真命题，即，，又，所以当，即时，函数取最大值为，即，故答案为：.8.已知，，，则、、三者的大小关系是．【答案】【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断.【详解】因为，所以；因为，所以；所以，故答案为：.9.函数的最大值为．【答案】16【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值.【详解】设，，所以，单调递减，所以当时，即时，函数取得最大值；故答案为：16.10.（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为.【答案】【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集．【详解】，当时，，所以此时不等式无解；当时，；当时，，所以此时不等式无解；综上可知，原不等式的解集为；故答案为：.11.（23-24高一上·上海嘉定·月考）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为，则实数的取值范围是;【答案】【分析】根据题意分类讨论，结合指数函数概念求解即可.【详解】因为是指数函数，所以或；当时，在上单调递减，最大值为，最小值为，则，解得（舍去）或（符合题意）；当时，在上单调递增，最大值为，最小值为，则，解得（舍去）或（符合题意）.所以实数的取值范围是；故答案为：.12.（24-25高一上·上海·月考）已知，，，，，试写出，，的大小关系．【答案】【分析】根据基本不等式易得，进而结合指数函数的单调性判断大小即可.【详解】由，则，当且仅当时等号成立，而，当且仅当时等号成立，则，因为函数为减函数，所以，即；故答案为：.13.（24-25高一上·上海·期末）已知，则（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】利用特值法排除A，C，D，利用不等式的性质判断B.【详解】根据题意，，则，当时，，A错误；由，所以，B正确；当时，，C错误；当时，不存在，D错误；故选：B.14.若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据函数平移的规则得答案.【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到，即，故选：B.15.（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（

）A．，B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a，b的范围.【详解】因为函数(且)单调递增，所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，，故选：B.16.（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得.【详解】设，当时，，故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立，设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减，故，得，故选：D.17.不使用计算器，比较下列各题中两数的大小：(1)与；(2)与（其中且）．【答案】(1)；(2)时，，时，.【分析】（1）化为同底数后，由指数函数的单调性得结论；（2）根据指数函数的单调性分类讨论．【详解】（1）∵，又指数函数在上是严格增函数，且，∴．（2）当时，指数函数在上是严格增函数，且，∴；当时，指数函数在上是严格减函数，且，∴．18.求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解；（2）利用指数函数性质结合分式的定义求解；【详解】（1）由题意，，，所以定义域为；（2）由题意，即，所以定义域为；（3）由题意，即，，，所以定义域为．19.已知，求函数的最大值与最小值.【答案】最小值，最大值3.【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值.【详解】，令，因为，所以，代入原函数后得，所以当即时，取得最小值.当即时，取得最大值3；综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3.20.（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型.(1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值；(2)说明与的图像关于y轴对称.【答案】(1)或；(2)答案见解析.【分析】（1）根据题意，按a的取值范围分2种情况讨论，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得关于a的方程，解可得a的值，即可得答案；（2）设，，分析可得，即可得结论.【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论：若0＜a＜1，则在区间上单调递减，最大值为a，最小值为，有，解得或（舍），若a＞1，则在区间上单调递增，最大值为，最小值为a，所以，解得或a＝0（舍），综合可得：或；（2）根据题意，设，，有，即，则与的图像关于y轴对称.21.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且.(1)若，求的最小值；(2)若在区间上的最大值为，求的值；(3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可；（2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可；（3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）当时，函数，所以当时，函数有最小值；（2）令，则函数，当时，由有，由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为，