初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第14讲 指数函数（原卷版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第14讲指数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航指数指数函数1.理解指数函数的定义及图像。2.掌握指数函数的性质。3.掌握利用指数函数的性质解不等式。学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。1.指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R2.指数函数的图象和性质：a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a−x3.指数函数图象画法的三个关键点：画指数函数y＝ax(a>0，且a应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，−1，14．指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01指数函数的图像与性质知识点1.指数函数的定义定义当底数固定，且时，等式确定了变量随变量变化的规律,称为底为的指数函数；需要注意的是:定义域为R,函数值恒为正.形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数，像等函数都不是指数函数．判断一个函数是指数函数的方法1.判断其解析式是否符合且这一结构特征．2.看是否具备指数函数解析式具有的三个特征：（1）底数为常数，且；（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1；（3）的系数是1．知识点2.指数函数的图像用五点法作指数函数的图像.（1）指数函数与的图像关于轴对称．（2）指数函数的图像经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图像离轴越来越远；的图像经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图像离轴越来越近．知识点3.指数函数的性质图像图像特征(1)函数图像都在轴上方,无限趋近于轴,但永不相交(2)过定点(0,1)(3)由左至右图像上升(3)由左至右图像下降函数性质(1)定义域为R,函数值恒正(3)在R上是严格增函数(3)在R上是严格减函数(4)对称性:指数函数的图像与指数函数的图像关于轴对称指数函数底数变化与图像分布规律如图所示:（1）；（2）；（3）；（4），则：，即当时，（底大幂大）；当时，（底大幂小）.【经典例题】【例1】若函数为指数函数，则．【技巧归纳】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可.【例2】（1）已知指数函数，则实数的取值范围是；（2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为．【技巧归纳】（1）根据指数函数的定义求解；（2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值．【例3】（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为.【技巧归纳】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式.【例4】函数的图像与函数的图像关于对称，它们的交点坐标是【技巧归纳】由指数函数图象与性质可得结论．【例5】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点.【技巧归纳】根据函数解析式可求图像所过的定点.【例6】（24-25高一上·上海·月考）设，则.【技巧归纳】首先要明确集合是函数的定义域，根据幂函数的性质求出集合；集合是函数的值域，根据指数函数的性质求出集合，最后求两个集合的交集.【例7】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为【技巧归纳】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论．【例8】若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（

）A．， B．， C．， D．，【技巧归纳】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案.【对点练习】【练习1】函数是指数函数，则【练习2】（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则．【练习3】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为．【练习4】（23-24高一上·上海浦东新·月考）若函数和的图象关于y轴对称，则函数.【练习5】函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则【练习6】函数的定义域是.【练习7】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为.【练习8】（24-25高一上·上海金山·月考）函数的定义域为，值域为，则的最大值为．知识点02指数函数的应用1.设含参指数函数为y=ax（a>0先判单调性：a>1时递增，0<a<1时递减；复合函数需结合内层f(x)将值域/最值转化为关于参数的指数方程或不等式.2.解约束条件：如a>1时[a若为复合函数，需同步解内层f(x)的参数约束.验证：确保是否匹配，剔除无效解得参数范围.【经典例题】【例9】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是.【易错提醒】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围..【例10】（24-25高三上·上海宝山·月考）已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是【易错提醒】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得.【例11】（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是.【易错提醒】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解.【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可.【例13】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式解集相同，则.【易错提醒】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可.【例14】（24-25高一上·上海·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【易错提醒】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可.【例15】（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【易错提醒】由题意可得函数在区间上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可.【例16】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，则下列结论错误的是（

）A．不等式的解集为B．函数的图象关于点对称C．若、为实数，且，则D．若、为实数，且，则【易错提醒】分析函数的单调性，结合单调性可解不等式，可判断A选项；利用函数的对称性，可判断B选项；利用函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.【对点练习】【练习9】（22-23高一上·上海杨浦·期中）若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是.【练习10】（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是．【练习11】（24-25高一上·上海宝山·月考）若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是．【练习12】（23-24高一上·上海虹口·期末）函数在区间上的最小值是．【练习13】已知，函数，若实数、满足，则、的关系为．【练习14】（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式：（且）.【练习15】指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，求的值．【练习16】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数（为常数，且）(1)若函数的图象经过点和，求实数的值;(2)若函数为指数函数，且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式.1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知函数是指数函数，则实数的值是.2.（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则．3.已知函数的最小值为2，则的最小值为．4.（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是．5．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知，则函数的值域为6．（21-22高一上·上海杨浦·期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则7．（24-25高一上·上海·期中）已知是常数，命题：存在实数，使得；若是假命题，则的取值范围是．8.已知，，，则、、三者的大小关系是．9.函数的最大值为．10.（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为.11.（23-24高一上·上海嘉定·月考）已知指数函数在上的最大值与最小值之差为，则实数的取值范围是;12.（24-25高一上·上海·月考）已知，，，，，试写出，，的大小关系．13.（24-25高一上·上海·期末）已知，则（

）A．B．C． D．14.若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（

）A． B． C． D．15.（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（

）A．，B．，C．， D．，16.（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．17.不使用计算器，比较下列各题中两数的大小：(1)与；(2)与（其中且）．18.求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．19.已知，求函数的最大值与最小值.20.（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型.(1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值；(2)说明与的图像关于y轴对称.21.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且.(1)若，求的最小值；(2)若在区间上的最